Diferencia entre "≈", "≃" y "≅"

Question

En la notación matemática, ¿cuáles son las diferencias de uso entre los diferentes signos de aproximadamente iguales "", "", y ""?

El estándar Unicode los lista todos dentro del Bloque de Operadores Matemáticos.

• : PRÁCTICAMENTE IGUAL A (U+2248)
• : ASINTÓTICAMENTE IGUAL A (U+2243)
• : APROXIMADAMENTE IGUAL A (U+2245)

Answer 1

Las notaciones $\cong$ y $\simeq$ no están totalmente estandarizadas. Ambas suelen usarse para "isomórfico", lo cual significa "lo mismo en cualquier contexto en el que nos encontremos". Por ejemplo, "isomorfismo geométrico" generalmente significa "congruente", "isomorfismo topológico" significa "homeomórfico", etc.: significa que de alguna manera son "iguales" para la estructura que estás considerando, en cierto sentido son "equivalentes", aunque no siempre "iguales": podrías tener dos triángulos congruentes en diferentes lugares en un plano, por lo que no literalmente serían "iguales" pero sus propiedades intrínsecas son las mismas. He visto a colegas usar ambos para isomórfico, y algunos (principalmente los teóricos de homotopía estable con los que me junto) usarán $\cong$ para "homeomórfico" y $\simeq$ para "hasta la equivalencia de homotopía", pero luego otros usarán los mismos dos símbolos, para los mismos propósitos, pero intercambiando cuál recibe qué símbolo.

El $\approx$ se usa principalmente en términos de aproximaciones numéricas, lo que significa que los valores en cuestión están "cerca" entre sí en cualquier contexto en el que se esté trabajando, y a menudo es menos preciso exactamente qué tan "cerca". Los topólogos también tienden a usar $\approx$ para homeomórfico.

La lección principal de esta respuesta: la notación no siempre está estandarizada, y es importante asegurarse de entender en el contexto en el que estás trabajando.

Answer 2

$\approx$ se utiliza principalmente para el valor aproximado (es decir: calculado) de una expresión matemática como $\pi \approx 3.14$ En LaTeX se codifica como \approx.

$\cong$ se utiliza para mostrar una congruencia entre dos expresiones matemáticas, que pueden ser geométricas, topológicas, y al usar aritmética de módulo puedes obtener diferentes números que son congruentes, por ejemplo, $5 \text{ mod } 3 \cong 11 \text{ mod } 3$ (aunque también se escribe como $\equiv$). En LaTeX se codifica como \cong.

$\sim$ es una similitud en geometría y puede utilizarse para mostrar que dos cosas son asintóticamente iguales (se vuelven más iguales a medida que aumentas una variable como $n$). Esta es una afirmación más débil que las otras dos. En LaTeX se codifica como \sim.

$\simeq$ es más bien un saco de múltiples significados. En LaTeX se codifica como \simeq que significa "similarmente igual" por lo que puede ser cualquiera de las dos, lo que podría ser apropiado en ciertas situaciones.

Answer 3

≈ es para datos numéricos, homeomorfismo

≃ es para equivalencia de homotopía

≅ es para isomorfismo, congruencia, etc.

Estas son solo mis propias convenciones.

Answer 4

En mi trabajo "=" es la identidad de un número por lo que establece una equivalencia. 1=1, 2x=10 es decir x=5.

El signo de aproximación "≈" lo uso para aproximaciones decimales con la tilde "~" siendo una aproximación más aproximada.

La tilde "~" la uso para indicar que una figura geométrica es similar a otra, es decir un triángulo de lados 3/4/5 es similar a un triángulo con lados 30/40/50. Escribo ▲ABC ~ ▲A'B'C' donde ▲A'B'C' es una versión dilatada de la preimagen.

Para una similitud más cercana "≃" podría significar que un triángulo es casi congruente pero solo APROXIMADAMENTE similar, como dos triángulos 3/4/5 y 3.1/4.1/5.1 mientras "≅" significa congruente. Los triángulos en la vida real utilizan aproximaciones y tienen errores de redondeo. 3/4 no es igual a 3.1/4.1 pero podrían ser aproximaciones aproximadas para algo que ya está construido. Como tal, este no es un uso popular y los puristas y los rigurosos profesores de matemáticas lo desprecian porque no tienen una forma de usarlo o definirlo de manera sólida. Por eso los legos o los profesionales del servicio son libres de explorarlo y los académicos prefieren algo más claramente definido a menos que se permitan deformaciones como en mi caso.

El triángulo 3/4/5 es ≅ al triángulo 4/5/3 siendo la diferencia una rotación que cambia las coordenadas de los ángulos pero preservando la longitud de los ángulos y los lados.

También uso el símbolo de definición "≡" para definir funciones. El caso más simple es f(x) ≡ y. Lo estoy usando para indicar una relación para encontrar sumas en lugar de establecerlo como la suma que estamos derivando, sin embargo, se puede utilizar para indicar equivalencia. Para un cuadrático yo establecería f(x) a cero pero no definiría f(x) como cero. Uso ≡ para todos los casos, no solo inmediatos. Establecer f(x) a cero crea la equivalencia f(x) = 0 para la coordenada que estás intentando resolver pero no es cierto para todas las coordenadas que son solucionables.

Answer 5

En lo que respecta a la teoría de categorías:

El símbolo ≅ se utiliza para el isomorfismo de objetos de una categoría, y en particular para el isomorfismo de categorías (que son objetos de CAT). El símbolo ≃ se utiliza para la equivalencia de categorías. Al menos, esta es la convención utilizada en este libro y por la mayoría de los teóricos de categorías, aunque está lejos de ser universal en las matemáticas en general.

(Advertencia 1.3.16, Basic Category Theory de Tom Leinster).