Más concretamente, ¿cómo se caracterizan los dominios integralmente cerrados generados finitamente (digamos, sobre C) basándose en las propiedades geométricas de sus variedades? Dado un dominio finitamente generado A y su cierre integral A' (en su campo de fracciones), ¿cuál es la relación geométrica entre V(A) y V(A')?
Si puedes, formula tu respuesta en términos de variedades afines complejas.
La propiedad que le interesa se conoce como normal . Para las variedades afines, la definición de normal es simplemente que el anillo de coordenadas es integralmente cerrado, y la operación sobre las variedades que corresponde a tomar el cierre integral del anillo de coordenadas se conoce como normalización (se dice que una variedad general es normal si es localmente isomorfa a una variedad afín normal). Hasta aquí sólo he replanteado tu pregunta; pero hay una serie de cosas que se saben. Para ello necesitamos la noción de suavidad: para variedades sobre $\mathbb{C}$ Esto debería ser equivalente a ser un colector suave (la definición general es un poco técnica).
Corolario: Para las curvas, la normalidad $\iff$ suave.
Shafarevich's Geometría algebraica básica El vol. 1 es una buena referencia para esto desde el punto de vista de las variedades (y trata la suavidad con más rigor).
En cuanto a la relación entre las variedades correspondientes a $A$ y $A'$ : La mayoría de las veces sólo tengo intuición para las curvas, así que me limitaré a hablar de ellas. Para las curvas, $A'$ es una versión de $A$ con las singularidades "resueltas": más concretamente, $V(A')$ es una variedad lisa dotada de un morfismo suryente de variedades de $A' \to A$ que es un isomorfismo alejado de las preimágenes de los puntos singulares de $A$ . (Creo que esto debería ser cierto también en dimensiones superiores: es definitivamente cierto si uno está hablando de esquemas, pero creo que también es cierto que para las variedades afines el mapa $A \to A'$ induce un mapa $V(A') \to V(A)$ .) Los dos ejemplos básicos a tener en cuenta aquí son la cúspide cúbica $C_1: y^2 = x^3$ y la cúbica nodal $C_2: y^2 = x^3 + x^2$ .
En el caso $C_1$ El anillo de coordenadas $\mathbb{C}[x, y]/(y^2 - x^3)$ tiene un cierre integral isomorfo a $\mathbb{C}[t]$ y el mapa de variedades aquí es el mapa de la línea afín a $C_1$ dado por $t \mapsto (t^2, t^3)$ . En este caso el mapa es una biyección como conjuntos (¡pero no un isomorfismo de variedades afines! porque el mapa inverso no se puede expresar como un mapa polinómico), y la "cúspide" de $C_1$ que es visible en el punto $(0,0)$ ya no es evidente.
En el caso $C_2$ el anillo de coordenadas también tiene cierre integral isomorfo a $\mathbb{C}[t]$ : esta vez el mapa es un poco más complicado, pero es $t \mapsto (t^2 -1 , t(t^2-1))$ . ¿Cómo lo he encontrado? En este caso, mirando la curva se ve que tiene una auto-intersección en el origen. Esto significa que debe haber dos puntos distintos en la normalización que han sido enviados al mismo punto en $C_2$ . Otra forma de decirlo es que, como la curva parece tener dos líneas tangentes en el origen, en realidad debería haber dos puntos diferentes allí, uno en cada línea tangente. ¿Cómo distinguirlos? Pues bien, cuando uno se acerca al origen desde una dirección, la relación $y/x$ tiende a $1$ en el límite, mientras que si uno se acerca desde la otra dirección, la relación $y/x$ tiende a $-1$ en uno de nuestros dos puntos, $y/x=1$ y en el otro, $y/x = -1$ . Desde $y/x$ está bien definida en cualquier otra parte de la curva, esto sugiere que queremos $t = y/x$ para pertenecer a nuestro anillo de coordenadas en el origen. En efecto, $t^2 = x +1$ Así que $t$ es integral, y podemos resolver para $x$ y $y$ en términos de $t$ para obtener la respuesta original. Así que en este caso tenemos un mapa suryectivo de la línea afín a una curva auto-intersectiva que es inyectiva en todas partes excepto en la preimagen del punto singular en el origen.
Esto es la normalización. En cuanto a su caracterización, sobre C, en la topología compleja sobre la variedad, piense que significa (aproximadamente, no exactamente) localmente irreducible. Lo más importante es que las variedades normales son suaves en codimensión uno, y así es más fácil hablar de divisores en ellas. Y, un seguimiento para otros. En la topología compleja, ¿es normal equivalente a suave en codim 1 y localmente irreducible? Estos criterios son para todos los casos que se me ocurren.
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