Demostración de que un campo finito sobre su campo primo es de Galois

Question

En lo anterior, no entiendo por qué el autor necesita utilizar otro teorema para demostrar que $f$ es separable. El teorema 3.4.5 dice que en un campo finito, digamos $F$ el automorfismo de Frobenius nos da $F = F^p$ lo que implica que todo polinomio irreducible en $F[x]$ es separable. Mi opinión es que si $E$ agota todas las posibilidades $p^n$ raíces distintas de $f$ entonces $f$ simplemente no puede tener raíces repetidas. Esta es prácticamente la última afirmación del párrafo. Entonces, ¿el autor estaba siendo redundante?

Answer 1

Tienes razón. Esto no es realmente necesario y se sabe de inmediato que f es separable. En general, la idea que has esbozado es una forma común y excelente de demostrar que un polinomio es separable.