Prueba de la unicidad a.s. del límite de convergencia de la probabilidad

Question

Demostrar que el límite de una secuencia de variables aleatorias (converge en probabilidad) es casi seguro uniuque.

Dejemos que $X, Y$ variables aleatorias y que una secuencia de variables aleatorias $(X_n)_n$ tal que $X_n$ converge en probabilidad a $X$ y $X_n$ converge en probabilidad a $Y$ (es decir $X_n \overset{P}{\rightarrow} X, X_n\overset{P}{\rightarrow} Y$ ). Demostrar que $\mathbb{P}(X=Y)=1$ .

Answer 1

Dejemos que $\varepsilon>0$ . Sea $\omega\in\Omega$ (si existe tal $\omega$ ) tal que $|X^{-1}(\omega)-Y^{-1}(\omega)|>\varepsilon$ . Así, para todos los $n\in\mathbb{N}$ Definitivamente $|X^{-1}(\omega)-X_n^{-1}(\omega)|>\varepsilon$ ou $|X_n^{-1}(\omega)-Y^{-1}(\omega)|>\varepsilon$ . Así, $$ \\ \{|X-Y|>\varepsilon\}\subseteq(\{|X_n-X|>\ {\varepsilon\over 3}\}\cup\{|X_n-Y|>{\varepsilon\over 3}\})\ $$ Así, $$ \\ \mathbb{P}(|X-Y|>{1\over n})\leq\mathbb{P}(|X_n-X|>{\varepsilon\over 3}\cup|X_n-Y|\leq{\varepsilon\over 3})\ \\ \leq\mathbb{P}(|X_n-X|>{\varepsilon\over 3})+\mathbb{P}(|X_n-Y|>{\varepsilon\over 3})\underset{n\to\infty}{\rightarrow} 0\ $$ Así, $$ \\ \mathbb{P}(|X-Y|>0)=0\Rightarrow \mathbb{P}(X=Y)=1\ $$