Equivalencia en la teoría elemental de la medida

Question

Demuestra eso:

$f\geqslant0$ y $\int f =0 $ $\Leftrightarrow$ $\mu$ ({ $x$$ \en $$X:$ $f($ x $)>0$ })= $0$

Mi idea:

Dejemos que

{ $x$$ \en $$X:$ $f($ x $)>n$ }= $E_{n}$

$\mu$ ({ $x$$ \en $$X:$ $f($ x $)>n$ })= $\int\chi_{E_{n}}$ = $\frac{1}{n}$$ \int(n\chi_{E_{n}) $$\leqslant$$ \frac{1}{n} $$\int f$ = $\frac{0}{n}$

Pero aquí tengo $\frac{0}{0}$ para n=0...

Answer 1

Leta $A_n =\left\{x\in X :f(x)>\frac{1}{n} \right\} .$ Si para algunos $k$ tenemos $\mu (A_k ) >0$ entonces $$\int_X fd\mu \geqslant \int_{A_k} fd\mu \geqslant \frac{1}{k} \mu (A_k ) >0 .$$ Por lo tanto, $\mu (A_k ) =0 $ para todos $k\in\mathbb{N}$ y por lo tanto $$\mu (\{x\in X :f(x)>0\} ) =\lim_{n\to \infty } \mu (A_n )=0 .$$