grupo fundamental de $U(n)$

Question

¿Es correcta mi lógica?

$f:U(n)\rightarrow U(1)$ definido por $f(A)=\det A$ es un grupo para que el homomorfismo inducido $f^{*}: \pi_1(U(n))\rightarrow \pi_1(U(1))$ será un isomorfismo, ¿verdad (no estoy seguro)? como $\pi_1(U(1))=\mathbb{Z}$ como $U(1)=S^1$ así que $\pi_1(U(n))=\mathbb{Z}$ .

Answer 1

Como has visto en tu contraejemplo, un homomorfismo de grupos de Lie no induce un isomorfismo de grupos fundamentales. Pero una forma de utilizar los homomorfismos para determinar los grupos fundamentales es a través del hecho de que si $G$ y $H$ están relacionados con $G$ simplemente conectado y $G \to H$ es un homomorfismo sobreyectivo con un núcleo discreto $K$ contenida en el centro de $G$ entonces este mapa es un recubrimiento y el grupo fundamental de $H$ es isomorfo a $K$ . Así que si usted sabe que $SU(n)$ es simplemente conectado, entonces se puede considerar el homomorfismo $$ SU(n) \times \mathbb R \to U(n), ~~ (A, t) \mapsto e^{it} A. $$ Esta es suryectiva con núcleo isomorfo a $\mathbb Z$ para que $\pi_1(U(n)) \simeq \mathbb Z$ .

Aunque supongo que la forma más fácil de ver eso $SU(n)$ está simplemente conectado es utilizar la sugerencia de Neal de aplicar la LES en homotopía asociada a la fibración $$SU(n-1) \to SU(n) \to SU(n)/SU(n-1) \simeq S^{2n-1}.$$

Pero entonces también podrías calcular $\pi_1 U(n)$ directamente de la fibración similar $$U(n-1) \to U(n) \to U(n)/U(n-1) \simeq S^{2n-1}.$$

Answer 2

El mapa $\mathrm{det}:U(n)\to U(1)\simeq S^1$ es un haz de fibras con fibras difeomorfas a $\mathrm{SU}(n)$ . Desde $\mathrm{SU}(n)$ es conectado y simplemente conectado, como se indica en la respuesta de Eric Korman, la secuencia exacta larga asociada a este haz de fibras proporciona un isomorfismo $\pi_1(\mathrm{U}(n))\simeq \pi_1(S^1)\simeq \mathbb{Z}$ .