¿Qué es un grupo totalmente ordenado no abeliano?

Question

Como he oído la frase "grupo abeliano totalmente ordenado", imagino que debe haber grupos no abelianos. Con esto me refiero a un grupo con un pedido total (que no debe confundirse con una ordenación bien hecha) que es "invariante de bi-traducción": a < b debe implicar cad < cbd.

¿Alguien conoce algún ejemplo?

Totalmente ordenado abeliano Los grupos son fáciles de conseguir: cualquier producto directo de subgrupos de los reales, con el ordenamiento lexicográfico, servirá. Conocer algunos no abelianos ayudaría a revelar qué aspectos de los grupos abelianos totalmente ordenados dependen realmente de que sean abelianos...

Editar: A través de la respuesta de Andy Putman más abajo, he encontrado este gran resumen de resultados sobre grupos ordenados y bi-ordenados (es decir, grupos con ordenamientos invariantes de bi-translación) en el sitio de Dale Rolfsen:

Notas de clase sobre grupos ordenados y topología

Muestra numerosos ejemplos de grupos bi-ordenables no abelianos, incluyendo un bi-ordenamiento (ordenamiento invariante de bi-traducción) en el grupo libre con dos generadores. Además, menciona, debido a Rhemtulla, que un grupo ordenable por la izquierda es abeliano si todo ordenamiento por la izquierda es un bi-ordenamiento, lo que creo que pone de manifiesto la relación entre ordenamiento y abelianidad.

Answer 1

No es realmente un ejemplo (ver la edición de abajo), pero de alguna manera relacionado con La de Greg Kuperberg : Dejemos que $\mathbb A = (A, +, \cdot, \preceq)$ sea un sembrador estrictamente ordenable (*) y para un número entero fijo $n \ge 1$ dejar $\mathcal M_n(A)$ denota el conjunto de todos los $n$ -por- $n$ matrices con entradas en $A$ dotado de las operaciones habituales de adición, digamos $+$ y la multiplicación fila por columna, por ejemplo $\cdot$ inducido por $\mathbb A$ . Entonces, $(\mathcal M_n(A), +, \cdot)$ es a su vez un semirremolque. Así que ahora, dejemos que ${\rm U}_n(\mathbb A^+)$ (respectivamente, ${\rm L}_n(\mathbb A^+)$ ) sea el subsemigrupo de $(\mathcal M_n(A), \cdot)$ que consiste en todas y cada una de las matrices triangulares superiores (respectivamente, inferiores) cuyas entradas en y por encima (respectivamente, por debajo) de la diagonal principal son positivas en $\mathbb A$ . Entonces, ambos $({\rm U}_n(\mathbb A^+), \cdot)$ y $({\rm L}_n(\mathbb A^+), \cdot)$ son semigrupos estrictamente ordenables.

Editar. Lo siento, he sólo se dio cuenta de que la pregunta se centraba en los grupos, ¡y no en los semigrupos/monoides! Pero entonces déjame aprovechar mi falta de atención para convertir lo anterior en una pregunta: ¿Son $({\rm U}_n(\mathbb A^+), \cdot)$ y $({\rm L}_n(\mathbb A^+), \cdot)$ se incrustan en grupos estrictamente ordenados en el caso de que $(A, +, \cdot)$ es unital y conmutativo?

(*) En este caso, un semirremolque no es más que un anillo (posiblemente no unital o no conmutativo) cuyo monoide aditivo no es necesariamente un grupo. Un sembrador estrictamente ordenado es entonces un $4$ -uple $(A, +, \cdot, \preceq)$ tal que $(A, +, \cdot)$ es un sembrado y $\preceq$ es un orden total en $A$ tal que

1. $(A, +, \preceq)$ es un magma estrictamente ordenado (de hecho, un monoide), a saber $x + z \prec y + z$ y $z + x \prec z + y$ para todos $x,y,z \in A$ con $x \prec y$ .
2. $x \cdot z \prec y \cdot z$ y $z \cdot x \prec z \cdot y$ para todos $x,y,z \in A$ con $x \prec y$ y $0 \prec z$ , donde $0$ representa la identidad del monoide $(A,+)$ .