Estoy leyendo los apuntes de una clase de introducción a la lógica y he encontrado este teorema. Esto no se demuestra en la nota de la conferencia que estoy leyendo, así que me pregunto si mi prueba es correcta. No me siento muy cómodo con lo que voy a decir, pero $L$ es un lenguaje de primer orden con las conectivas sentenciales habituales.
Un conjunto $\Sigma$ de $L$ -fórmulas es Satisfactorio si existe una evaluación $v$ de letras sentenciosas tales que $\overline{v}(\sigma)=1$ para todos $\sigma\in \Sigma$ , donde $\overline{v}$ es la única extensión de $v$ en $\Sigma$ .
Teorema de la compacidad: Si todo finito $\Delta\subset \Sigma$ es satisfacible, entonces $\Sigma$ es satisfacible.
Prueba: Utilizaremos el siguiente lema para demostrar el teorema: Si $\sigma$ es un $L$ -fórmula y $\Sigma \models \sigma$ entonces existe un conjunto finito $\Delta\subset\Sigma$ tal que $\Delta\models \sigma$ .
Supongamos por contradicción que todo finito $\Delta\subset \Sigma$ es satisfacible y $\Sigma$ no es satisfacible. Sea $w$ sea una letra sentencial de $L$ . Entonces $\Sigma\models (w\wedge \neg w)$ porque no hay evaluación $v$ tal que $\overline{v}(\sigma)=1$ para todos $\sigma\in \Sigma$ . Entonces, por el lema, hay algún conjunto finito $\Delta\subset \Sigma$ tal que $\Delta\models (w\wedge\neg w)$ . Como asumimos que todo subconjunto finito de $\Sigma$ es satisfacible, dejemos que $v$ sea una evaluación tal que $\overline{v}(\delta)=1$ para todos $\delta\in \Delta$ . Entonces llegamos a una contradicción como $\overline{v}(w\wedge\neg w)=0$ así que $\Delta\models (w\wedge \neg w)$ no es cierto.
Por favor, comuníqueme si algo es incorrecto. Cualquier comentario será apreciado. Gracias.
