¿Cómo encontrar la ecuación de la línea en el sistema de coordenadas esféricas?

Question

Estoy tratando de encontrar la ecuación de la curva entre dos puntos en coordenadas esféricas cuya longitud es la más corta, es decir, encontrar la ecuación de la línea en el sistema de coordenadas esféricas. Aquí está mi trabajo hasta ahora, ¿He cometido algún error en alguna parte? Porque estoy atascado y no sé cómo resolver la ecuación diferencial, $$\frac{r}{\sqrt{r'^2+r^2}}-\frac{d}{d\theta}\frac{r'}{\sqrt{r'^2+r^2}} = 0$$ Por favor, dígame cómo proceder.

P.D. He cometido un error en la ecuación final, he olvidado la raíz cuadrada y r primo. Por favor, ignora.

Answer 1

¿Por qué no simplemente $$ ax+by+c=0 \implies ar\cos\theta+br\sin\theta+c=0\implies r=-\frac{c}{a\cos\theta+b\sin\theta} $$

De todos modos, hay que realizar la derivada, obteniendo $$ \frac{r}{\sqrt{r'^2+r^2}}-\frac{r''}{\sqrt{r'^2+r^2}}+\frac{r'(2r'r''+2rr')}{2\sqrt{(r'^2+r^2)^3}} = 0 $$ y simplificar aún más a $$ -\frac{r(rr''-2r'^2-r^2)}{\sqrt{(r'^2+r^2)^3}} = 0 $$