Dos personas tienen 2 uniforme de palos con la misma longitud que puede ser cortado en cualquier momento. Cada persona va a cortar el palo en $n$ piezas ($n$ es un número impar). Y cada persona $n$ partes serán permutados al azar, y se comparó con la de la otra persona palos, uno por uno. Cuando el palo es más largo que el de la otra persona, se obtendrá un punto. La persona con más puntos ganará el juego. Cómo maximizar la probabilidad de ganar el juego por un de la persona. ¿Cuál es la mejor estrategia para cortar el palo.
Respuestas
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Hank
Puntos
156
Cuando la intuición no ayuda, trate de fuerza bruta.
ensayos = Tabla[Con[{k = RandomReal[{0, 1}, {7}]}, k/Total[k]], {50}]; Columna[Ordenar[Transpose[{Total /@ Table[Total[Signo[ensayos[[a]] - ensayos[[b]]]], {a, 1, 50}, {b, 1, 50}], ensayos}]]]
Ahora podemos ver algunas de las mejores/peores.
{-55, {0.018611, 0.0405574, 0.032157, 0.333219, 0.311017, 0.17885, 0.0855879}},
{-39, {0.313092, 0.178326, 0.0454452, 0.064321, 0.228231, 0.0907115,0.0798742}},
{29, {0.0360088, 0.220396, 0.13208, 0.145903, 0.180813, 0.240151, 0.044648}},
{29, {0.0799122, 0.0547817, 0.234127, 0.119589, 0.0290167, 0.255561,0.227013}},
{33, {0.0541814, 0.216338, 0.0619272, 0.204252, 0.0254828, 0.225743,0.212075}}
Así, en el caso de 7 piezas, la mejor estrategia parece ser la de dar 3 pequeñas piezas 4 piezas de mayor tamaño. Con algunos de los ensayos más grandes, 2 pequeñas piezas y 5 piezas de mayor tamaño que parecía mejor. Pero este es un juego competitivo ... así que he seleccionado el 10% superior de un estudio más grande, y luego los chicos a competir. Esta vez el ganador fue tener 3 valores de 2/7 y un valor de 1/7 {0.0263105, 0.0848388, 0.228165, 0.249932, 0.0788568, 0.215831, 0.116066}
Su iteraciones pueden comportarse de manera diferente.
jonsca
Puntos
66
Aquí está una (parcial) respuesta a la situación en donde el número de palos es de 3 (es decir,$n = 3$). Con un poco de esfuerzo, uno puede mostrar los siguientes reclamos:
Dada la estrategia de $(a,a,b)$ donde $a \ge b$ (es decir, de romper el palo en dos partes iguales de tamaño $a$ y una parte más pequeña de tamaño de $b = 1-2a$), el valor óptimo para $a$$\frac13$. Es decir, la fractura de su palo en tres partes iguales maximiza el número de estrategias de vencer.
Otra demanda similar: dada la estrategia de $(a,b,0)$ (es decir, romper su palo en tres partes - una de longitud $a$, uno de longitud $b = 1-a\le a$ y uno de longitud 0), el valor óptimo de $a$$a = \frac12$.
Generalmente hablando, esto es demostrado por el dibujo en el espacio de estrategias como la de un triángulo equilátero en baricéntrico coordenadas, dividiendo ese triángulo en los espacios de estrategias (triángulos, trapecios y tal), y viendo lo que la probabilidad de que su estrategia de latir otra estrategia en la que el espacio.
Por ejemplo, la estrategia de $(\frac13,\frac13,\frac13)$ le gana a cualquier estrategia que tiene dos varas de longitud $<\frac13$, y pierde a todas las otras estrategias (hay algunas estrategias con un palo de longitud $\frac13$, pero estos tienen medida 0 por lo que se omiten) en todo momento. Dos tercios de las estrategias tienen dos varas de longitud $< \frac13$, así que es mejor que las estrategias de $2/3$ del tiempo.
Alternativamente, para $(\frac12,\frac12,0)$, seguro Que le gana a cualquier estrategia que tiene dos varas de longitud $<\frac12$, y los ritmos de cualquier estrategia con un palo de longitud $>\frac12$ y dos con la longitud de la $< \frac12$ w.p. $\frac13$. Así, en total se espera ganar probabilidad es $\frac14\cdot 1 + 3\cdot\frac14\cdot \frac13 = \frac12$. (tomar un triángulo equilátero y se divide en 4 de igualdad de triángulos equiláteros.
Voy a estar feliz de escribir una prueba formal de este, pero ahora estoy un poco ocupado :)
Mi pensamiento es que, en general, sería difícil demostrar nada acerca de esta configuración para $n \ge 5$, pero puedo estar equivocado...
