Las álgebras de Hopf son bastante fáciles de motivar, como una generalización no necesariamente conmutativa del anillo de funciones sobre un grupo algebraico (y hay muchas otras formas en las que aparecen). Me gusta cualquier situación en la que se toma alguna construcción geométrica interesante, se caracteriza en términos de alguna estructura en el anillo de funciones correspondiente, y luego se pregunta qué sucede cuando ya no se requiere que tales álgebras sean conmutativas.
Sin embargo, la mayoría de las personas que conozco que estudian las álgebras de Hopf estudian una clase muy particular de ellas, a menudo llamada "grupos cuánticos". Este término se aplica muy a menudo a una clase mucho más general de álgebras de Hopf, así que para mayor claridad las llamaré Grupos cuánticos Drinfel'd-Jimbo , como hace la wikipedia. Me refiero a una deformación q muy específica del álgebra envolvente universal de un álgebra de Lie semisimple $g$ (la definición es larga, así que me remitiré a la wikipedia).
Mi pregunta es, ¿Qué tienen de especial estas álgebras de Hopf en particular? ¿Por qué no otra deformación de la estructura del álgebra de Hopf en $\mathcal{U}g$ ? He visto algunas cosas interesantes que se pueden hacer con ellas, como caracterizar las bases cristalinas de los módulos; pero ¿son éstas las razones por las que la gente empezó a estudiarlas en primer lugar? ¿Hay alguna razón natural por la que estas sean las "mejores" deformaciones de $\mathcal{U}g$ ?
