¿Por qué grupos cuánticos de tipo Drinfel'd-Jimbo?

Question

Las álgebras de Hopf son bastante fáciles de motivar, como una generalización no necesariamente conmutativa del anillo de funciones sobre un grupo algebraico (y hay muchas otras formas en las que aparecen). Me gusta cualquier situación en la que se toma alguna construcción geométrica interesante, se caracteriza en términos de alguna estructura en el anillo de funciones correspondiente, y luego se pregunta qué sucede cuando ya no se requiere que tales álgebras sean conmutativas.

Sin embargo, la mayoría de las personas que conozco que estudian las álgebras de Hopf estudian una clase muy particular de ellas, a menudo llamada "grupos cuánticos". Este término se aplica muy a menudo a una clase mucho más general de álgebras de Hopf, así que para mayor claridad las llamaré Grupos cuánticos Drinfel'd-Jimbo , como hace la wikipedia. Me refiero a una deformación q muy específica del álgebra envolvente universal de un álgebra de Lie semisimple $g$ (la definición es larga, así que me remitiré a la wikipedia).

Mi pregunta es, ¿Qué tienen de especial estas álgebras de Hopf en particular? ¿Por qué no otra deformación de la estructura del álgebra de Hopf en $\mathcal{U}g$ ? He visto algunas cosas interesantes que se pueden hacer con ellas, como caracterizar las bases cristalinas de los módulos; pero ¿son éstas las razones por las que la gente empezó a estudiarlas en primer lugar? ¿Hay alguna razón natural por la que estas sean las "mejores" deformaciones de $\mathcal{U}g$ ?

Answer 1

Estas álgebras de Hopf se distinguen por la propiedad de que sus categorías de representación admiten una estructura tensorial trenzada. El espacio de deformaciones de la estructura tensorial trenzada en estas categorías particulares es unidimensional (creo que esto es un resultado de Drinfeld), por lo que obtenemos una familia universal de deformaciones trenzadas de U(g)-mod variando q en U_q(g). La estructura simétrica en U(g)-mod hace que sea un punto especial en este espacio, y se podría argumentar que U(g)-mod es una "degeneración" del comportamiento trenzado genérico. Hay un trabajo inédito de Lurie sobre grupos algebraicos sobre el espectro de la esfera que presta apoyo homotópico-teórico a esta idea, ya que la estructura simétrica no se manifiesta sobre la esfera.

Las estructuras trenzadas son importantes cuando se estudian las teorías de campo topológicas (y conformes), ya que describen el comportamiento local de los objetos incrustados de codimensión 2, como los puntos de una superficie o los enlaces de un tríptico. Si te gusta la teoría de la homotopía, una categoría tensorial trenzada es aquella que admite una acción de la operada E[2], cuyos espacios son (homotópicamente equivalentes a) espacios de configuración de puntos en el plano. Físicamente, son los puntos donde se insertan los campos.

En principio, cualquier afirmación sobre los grupos semisimples que pueda formularse en lenguaje trenzado-conmutativo (en lugar de totalmente conmutativo) debería ser reconfigurable a una afirmación sobre estos grupos cuánticos. Por ejemplo, existe un programa local cuántico de Langlands (véase la introducción del artículo de Whittaker trenzado de Gaitsgory). Además, la teoría de la representación de U_q(g) es interesante por sus conexiones con la teoría de la representación de las álgebras afines y las representaciones mod p (creo que Kazhdan, Lusztig y Bezrukavnikov están entre los nombres clave aquí).

Answer 2

Esto tiende a no ser una respuesta satisfactoria a preguntas del tipo de la suya... pero se puede demostrar que el álgebra envolvente de una álgebra de Lie semisimple tiene una única deformación no trivial como cuasi bialgebra sobre el anillo de series formales hasta el cambio de parámetro formal y la torsión, a saber, la de Drinfel'd-Jimbo. Esto se ha demostrado de diversas formas por varias personas -por ejemplo, el artículo de Schnider en "Deformation theory and quantum groups with applications to mathematical physics", editado por Gerstenhaber y Stasheff- o en el libro de Ch. Kassel.

Answer 3

He visto algunas cosas interesantes que se pueden hacer con ellas, como caracterizar las bases cristalinas de los módulos; pero ¿son éstas las razones por las que la gente empezó a estudiarlas en primer lugar?

No. Las motivaciones originales provienen del método de dispersión inversa cuántica, ya que son el lugar natural donde viven las matrices R cuánticas en forma abstracta (elemento R universal); en particular, las representaciones godo de los grupos cuánticos proporcionan ejemplos de matrices R concretas. Así, por lo menos se restringe a las álgebras de Hopf cuasitriangulares o coquasitriangulares (cf. entrada del nlab ).

Más tarde se vio que, aparte de algunos modelos integrables deformados (cadenas de espín y similares), la mayoría de las aplicaciones físicas pertenecen a grupos cuánticos con raíz de unidad. Por ejemplo, la teoría de Chern-Simons que alguien menciona tiene una reducción hamiltoniana al modelo WZNW que tiene, a grandes rasgos, una simetría de grupo cuántico. Pero la teoría de la representación en la raíz de la unidad está relacionada con la teoría de la representación de las álgebras de Lie afines. Hay muchos aspectos de esto, incluyendo las pistas del trabajo profundo de Kazhdan y Lusztig mencionadas en otras respuestas, pero también el emparejamiento hipergeométrico

A.Varchenko, "Multidimensional Hypergeometric Functions and Representation Theory of Lie Algebras and Quantum Groups", Advanced Series in Mathematical Physics, Vol. 21, World Scientific (1995)

que puede interpretarse como la evaluación de cohomología cocíclica en ciertos ciclos de homología; esta imagen se extiende posteriormente en muchas direcciones. El gran paso es un profundo trabajo del entonces jovencísimo Bezrukavnikov, resumido en el libro conjunto Estructuras factorizables y grupos cuánticos con Finkelberg y Schechtman. Más recientemente, esto se entiende más por el trabajo conjunto de Lurie y Gaitsgory, sé de la parte publicada por

Dennis Gaitsgory, Modelo de Whittaker trenzado y gavillas factorizables Selecta Math. (N.S.) 13 (2008), no. 4, 617--659.

la parte más nueva con una idea aún más emocionante mencionada por Scott no la he visto en forma detallada todavía.

En cuanto a la construcción de una parte del grupo cuántico (digamos sólo la parte de Borel) a partir de los datos de Cartan sin fórmulas explícitas pero de alguna manera a priori, ha sido intentada con diversos grados de éxito por varias personas. Luzstig, Nakajima y otros toman una variante apropiada de los espacios de configuración y miran ciertas láminas perversas allí (este tipo de ideas no es ajeno al negocio de Bezrukavnikov y otros que involucran otra categoría de láminas (factorizables) para estudiar los grupos cuánticos). Lyubashenko , Majid , Schauenburg y han probado a partir de alguna categoría tensorial trenzada simple y pocos datos más para construir el grupo cuántico; algún significado categórico de las relaciones, aunque todavía complicado y con mucha entrada a mano está en la obra de Aguiar tesis que permite hacer algunas generalizaciones. Rosenberg ( aquí ) comienza con sólo una categoría tensorial trenzada y una familia finita de objetos distinguidos para crear una estructura parecida a la de los grupos cuánticos y afirma sin pruebas que la categoría de espacios vectoriales con cierta elección fácil de trenzado (que implica la fórmula q a la potencia que involucra los elementos de la matriz de Cartan) da el caso de Drinfel'd-Jimbo; todas las relaciones, incluyendo las relaciones de Serre son gratis por tonterías generales.

Answer 4

Creo que una buena respuesta es la teoría de Chern-Simons; se trata de una teoría cuántica de campos topológica que tiene una definición de integral de trayectoria sólo con un grupo de Lie compacto, pero cuando la extiendes a las variedades de 2 y 1, aparece la categoría de representaciones de un grupo cuántico.

Como regla general, en muchos casos en los que se encuentra alguna construcción natural para el álgebra de Lie de su álgebra envolvente universal, un ligero ajuste da el grupo cuántico. Quizás el mejor ejemplo de esto es la teoría de Álgebras de Hall que dan el álgebra envolvente universal si sólo se utilizan las características de Euler, pero si se mantienen las informaciones motivacionales (por ejemplo, contando puntos sobre campos finitos) se obtiene un grupo cuántico. Muy relacionados con esto están la categorización de Lusztig de la mitad superior, y la categorización de Rouquier-Khovanov-Lauda del álgebra envolvente universal completa. Una historia similar, pero ligeramente modificada, es la construcción de Nakajima de la variedad quiver del grupo cuántico afín como teoría K equivariante de una variedad quiver.

Answer 5

Así que, aquí está algo de mi propia investigación sobre esto. Definir la variedad de bandera parcial n-ésima $Fl_n(\mathbb{C}^m)$ para ser el conjunto de todas las banderas parciales de n pasos

$$F_0 \subseteq F_1 \subseteq ... \subseteq F_n \subseteq \mathbb{C}^m$$

donde NO exigimos que las inclusiones sean adecuadas (se trata de una variedad de forma natural).

Hay una forma natural de obtener una representación del grupo no deformado $GL(n,k)$ de esto, específicamente tomando la homología de Borel-Moore $H_*(Fl_n(\mathbb{C}^m),k)$ con coeficientes en algún campo $k$ . Definir $Z_i$ para ser el conjunto de todos los 'pares de banderas parciales de n pasos $(F,F')$ que son iguales excepto en el paso ith, donde $dim(F'_i)=dim(F_i)+1$ '.

Hay dos mapas naturales $\pi_1, \pi_2:Z_i\rightarrow Fl_n$ Cada uno de ellos se olvida de una de las banderas. Luego, volviendo a tirar a lo largo de $\pi_1$ y empujando hacia adelante a lo largo de $\pi_2$ da un mapa $E_i$ en la homología de Borel-Moore. Del mismo modo, al retroceder a lo largo de $\pi_2$ y empujando hacia adelante a lo largo de $\pi_1$ da un mapa $F_i$ en la homología de Borel-Moore.

Reclamación: Los mapas $\{E_i,F_i\}$ generar una acción de $GL(n,k)$ en $H_*(Fl_n(\mathbb{C}^m)$ . Creo que esto se puede encontrar en "Representation Theory and Complex Geometry" de Chriss y Ginzburg, y esto está esbozado en las notas de Joel Kamnitzer de una escuela de verano aquí .

---

¿Qué tiene esto que ver con los grupos cuánticos? Bien, rehaga la construcción anterior, excepto que reemplace el campo $\mathbb{C}$ con $\mathbb{F}_q$ . Entonces las variedades bandera parciales sólo tienen un conjunto finito de puntos, por lo que en lugar de tomar la homología de Borel-Moore, se toma $k$ -combinaciones lineales de estos puntos $k[Fl_n(\mathbb{F}_q)]$ .

Sigues teniendo los operadores push-forward y pullback, donde el push-forward es ahora sólo una suma de valores en la fibra. Por lo tanto, todavía se pueden definir los operadores $E_i$ y $F_i$ pero no está claro lo que genera.

Mi conjetura: $E_i$ y $F_i$ generan la acción del grupo cuántico $GL_q(n,k)$ donde q es el valor del parámetro de deformación.

Tengo la firme sospecha de que esto es cierto, pero lo único en lo que me baso es en un comentario pasajero de Joel Kamnitzer. Si lo es, da una motivación bastante natural para mirar estos grupos cuánticos, al menos en el caso estrecho de q una potencia prima.