¿Existen los no-PIDs en los que cada ideal contablemente generado es principal?

Question

El título lo dice todo: suponga $R$ es un dominio integral conmutativo tal que todo ideal contablemente generado es principal. Debe $R$ ser un dominio ideal principal?

De forma más general: para qué pares de cardenales $\alpha < \beta$ es el caso que: para cualquier dominio conmutativo, si todo ideal con un conjunto generador de cardinalidad a lo sumo $\alpha$ es principal, entonces cualquier ideal con un conjunto generador de cardinalidad a lo sumo $\beta$ ¿es principal?

Ejemplos: Sí, si $2 \leq \alpha < \beta < \aleph_0$ ; no si $\beta = \aleph_0$ y $\alpha < \beta$ : tome cualquier dominio noetheriano de Bezout (por ejemplo, un dominio de valoración no discreto).

Supongo que los dominios de valoración en general podrían ser útiles para responder a la pregunta, aunque prometo que aún no he elaborado una respuesta por mi cuenta.

Answer 1

No existe tal anillo.

Supongamos lo contrario. Sea $I$ sea un ideal no principal, generado por una colección de elementos $f_\alpha$ indexado por el conjunto de ordinales $\alpha<\gamma$ para algunos $\gamma$ . Considere el conjunto $S$ de ordinales $\beta$ con la propiedad de que el ideal generado por $f_\alpha$ con $\alpha<\beta$ no es igual al ideal generado por $f_\alpha$ con $\alpha\leq \beta$ .

$I$ es generado por el $f_\beta$ con $\beta \in S$ Así que si $S$ es finito, entonces $I$ es de generación finita y, por tanto, es principal.

Por otro lado, si $S$ es infinito, entonces tome un subconjunto contable $T= \{\beta_1<\beta_2<\dots\}$ de $S$ . Si el ideal generado por el conjunto correspondiente de $f_\beta$ 's eran principales, su generador tendría que estar en algún $\langle f_{\beta_k} \mid k\leq i \rangle$ para algunos $i$ (ya que cualquier elemento de $\langle f_{\beta}\mid \beta \in T\rangle$ es una combinación finita de $f_\beta$ y, por tanto, se encuentra en algún ideal de este tipo). Ahora no $\beta_j$ con $j>i$ podría estar en $T$ .

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El mismo argumento muestra que todos los anillos para los que cualquier ideal contablemente generado es finito, tienen todos sus ideales finitos.

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Corregido gracias a las preguntas de David.

Answer 2

La cuestión está totalmente resuelta por la respuesta de Hugh Thomas, pero permítanme mencionar este hecho interesante relacionado.

Teorema. Existe un anillo R y un ideal I sobre R, tal que todo subconjunto contable de I está contenido en un subideal principal de I, pero I no es no es principal.

Prueba. Sea I el ideal de subconjuntos no estacionarios de ω ₁ en el conjunto de potencias P(ω ₁ ), que es un álgebra booleana y, por tanto, un anillo booleano. Es decir, I está formado por aquellos subconjuntos de ω ₁ que son disjuntos de un subconjunto cerrado no limitado de ω ₁ . Es un hecho elemental de la teoría de conjuntos que la intersección de cualquier subconjunto cerrado no limitado de ω ₁ sigue siendo cerrado e ilimitado, por lo que la unión de un número contable de conjuntos no estacionarios conjuntos no estacionarios sigue siendo no estacionaria. Por lo tanto, todo subconjunto contable de I está contenido en un subideal principal de I. Pero I no es principal, ya que el complemento de cualquier es estacionario. QED

En el ejemplo anterior, el ideal I no es máximo. Sin embargo, si se asume la existencia de un cardinal medible (una noción de cardinal grande), entonces el ejemplo puede hacerse con I maximal.

Teorema. Si hay un cardinal medible, entonces hay un anillo R con un ideal máximo I, tal que todo subconjunto subconjunto de I está contenido en un subideal principal de I, pero I no es principal.

Prueba. Sea κ un cardinal medible, lo que significa que existe un ultrafiltro no principal κ-completo U en el conjunto de potencias P(κ), que es un álgebra booleana y por tanto un anillo booleano. El ideal I dual a U es también κ-completo, lo que significa que I es cerrado bajo uniones de tamaño inferior a κ. En particular, como kappa es incontable, esto significa que la unión de cualquier número contable de elementos de I permanece en I, y este conjunto de unión genera un subideal principal subideal de I que contiene el conjunto contable dado. El ideal I es maximal ya que U era un ultrafiltro. QED

En este momento no estoy seguro de si la situación de este último teorema requiere un cardinal medible o no, pero lo pensaré.

Answer 3

Siento desenterrar una vieja pregunta, pero en caso de que alguien más aterrice al azar aquí, aquí hay una nota rápida sobre una forma en que esto puede ser generalizado.

Teorema: Si todo ideal contablemente generado de un anillo $R$ está generada finitamente, entonces $R$ es noetheriano. Por lo tanto, si $n < \infty$ y todo ideal generado contablemente es $n$ -generada, entonces todo ideal es $n$ -generado.

Prueba: Por contraposición. Si $R$ no es noetheriano, entonces podemos hacer una cadena infinita propiamente ascendente $I_1 \subsetneq I_2 \subsetneq \cdots$ de ideales finitamente generados. La unión de esta cadena es un ideal de generación contable, y no puede ser de generación finita, porque eso haría que la cadena terminara en algún punto.

Answer 4

Esos anillos existen. He aquí un lema que puede ser útil para demostrar que tales anillos existen:

Lema: Dado cualquier grupo abeliano ordenado $A$ hay un anillo de valoración $k[[A]]$ con grupo de valoración isomorfo a $A$ .

Construcción: El anillo $k[[A]]$ es el anillo de sumas formales $$\sum_{i_1,i_2, \ldots, i_r=0}^{\infty} k_{i_1 i_2 \cdots i_r} t^{ i_1 a_1 + i_2 a_2+ \cdots i_r a_r}$$ donde $a_1$ , $a_2$ , ..., $a_r$ pueden ser cualquier elemento de $A_{>0}$ . El punto clave a tener en cuenta es que, si dicha suma tiene un término principal distinto de cero, entonces su inversa multiplicativa también es una suma de este tipo.

Este lema permite trasladar el problema de los anillos a los grupos. Pero mi intento de construcción de un grupo con la propiedad necesaria es erróneo. No estoy seguro de si esto es salvable.

Tome $P$ para ser un conjunto totalmente ordenado en el que cada subconjunto contable tiene un elemento mínimo, pero que no tiene él mismo un elemento mínimo. (Véase aquí .) Sea $A$ sea el grupo abeliano libre generado por $P$ con ordenación lexicográfica. Es decir, $\sum_{p \in S \subset P} c(p) p$ es positivo si $c(p_0)>0$ para $p_0 = \max S$ .

Creo que $A$ también tiene la propiedad de que todo subconjunto contable tiene un elemento mínimo. No, no es así. Considera el conjunto $e$ , $e-f$ , $e-2f$ , $e-3f$ etc., donde $0 < f < e$ .

Oh, bueno, tal vez esto le dé a alguien una mejor idea.