¿Es la ecuación funcional para $\zeta (s) \left(1-\frac{1}{3^{s-1}}\right)$ ¿se sabe?

Question

Dice en wikipedia que Hardy dio una prueba simple de la ecuación funcional para:

$$\eta(s)=\zeta (s) \left(1-\frac{1}{2^{s-1}}\right)$$

y eso es:

$$\eta(-s) = 2 \frac{1-2^{-s-1}}{1-2^{-s}} \pi^{-s-1} s \sin\left({\pi s \over 2}\right) \Gamma(s)\eta(s+1)$$

Tratando de generalizar esto a la función de von Mangoldt, me pregunto como primer paso si la ecuación funcional para:

$$\zeta (s) \left(1-\frac{1}{3^{s-1}}\right)$$

¿se conoce?

Answer 1

Supongamos que $a$ es un número real tal que $a^{s-1}\neq1$ . Si se establece $$ z(s)=\zeta (s) \left(1-\frac{1}{a^{s-1}}\right), $$ entonces, utilizando la ecuación funcional para $\zeta$ se obtiene $$ \begin{align} z(1-s)&=\zeta (1-s) \left(1-\frac{1}{a^{-s}}\right)\\\\ &=2\frac{\Gamma(s)}{(2\pi)^s} \cos\left(\frac{\pi}{2}s\right) \zeta(s)\times \left(1-\frac{1}{a^{-s}}\right)\\\\ &=2\frac{\Gamma(s)}{(2\pi)^s} \cos\left(\frac{\pi}{2}s\right) \frac{1-a^s}{1-\frac{1}{a^{s-1}}} \times \zeta(s)\times \left(1-\frac{1}{a^{s-1}}\right)\\\\ &=-2a^s\frac{\Gamma(s)}{(2\pi)^s} \cos\left(\frac{\pi}{2}s\right) \frac{1-a^{-s}}{1-a^{1-s}} \times z(s)\\\\ \end{align} $$ o, con $s \to s+1$ ,

$$ \color{blue}{z(-s)}=2\:\left(\frac{a}{2}\right)^{s+1}\frac{1-a^{-s-1}}{1-a^{-s}}\pi^{-s-1}s\sin\left(\frac{\pi s}{2}\right)\Gamma(s) \:\color{blue}{z(s+1)}. $$