¿Cuál es la suma de todos los números de 4 cifras con los dígitos $0,1,2,3,4$ sin que se repitan los dígitos en cada número?
Me pregunto si hay alguna manera de hacer esto sin enumerar todos los números.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Imaginemos que $0$ puede ser el primer dígito. Entonces, habría $5 \cdot 4\cdot3\cdot2\cdot1=120$ combinaciones posibles. Cada dígito está en el mismo lugar el mismo número de veces, por lo que la suma de todas estas combinaciones es $$\color{red}{(0+1+2+3+4)}\cdot \color{blue}{\dfrac {120}5} \cdot \color{green}{1111}=266640$$
Luego, se puede restar la suma de los números con $0$ como primer dígito. Hay $4 \cdot 3 \cdot 2=60$ tales números, por lo que la suma es $$\color{red}{(1+2+3+4) }\cdot \color{blue}{\dfrac{24}4} \cdot \color{green}{111} = 6660$$ Ahora, para encontrar la respuesta, basta con restar los dos números, obteniendo $$266640-6660=259980$$
Explicación de cómo las ecuaciones codificadas por colores:
$\color{red}{Red}$ - Suma de todos los dígitos
$\color{blue}{Blue}$ - Número de formas de reordenación dividido por el número de dígitos
$\color{green}{Green}$ - Multiplicar para tener en cuenta el valor posicional
