Estoy un poco confundido con la definición de un mapa cociente entre espacios topológicos. ¿Cuál es la razón para construir una topología de esta manera? Estoy familiarizado con los cocientes del álgebra y aún así con la idea de tomar el cociente por una relación de equivalencia, pero definir mapas cocientes de esta manera me parece extraño/artificial. Sobre todo porque estoy acostumbrado a ver cocientes en el dominio, pero los mapas cocientes inducen la topología cociente en su imagen.
Además, ¿alguien podría explicarme "qué pasa" cuando pasamos al cociente? Entiendo las propiedades de existencia y unicidad desde un punto de vista puramente lógico, pero no tengo ninguna intuición sobre lo que se consigue al pasar al cociente. Me parece que estamos construyendo una función continua única dado un espacio cociente y otra función continua (que satisface algunas propiedades). ¿Es eso todo? De nuevo, ¿cuál es la motivación? ¿De qué manera son útiles estas construcciones?
