Aquí hay un ejemplo que responde a una pregunta un poco más fuerte, del comentario de Jason DeVito: Construir una variedad riemanniana conectada cuya terminación métrica no sea homeomórfica a una variedad topológica (con o sin límite). El ejemplo más sencillo, creo, es:
Toma 2-toro $T^2$ incrustado suavemente en la esfera unitaria $S^3$ . Ahora, consideremos el cono euclidiano $C$ en $T^2$ sur $R^4$ . Entonces dejemos que $M= C- \{0\}$ , dotada de la métrica de Riemann $g$ inducido por $R^4$ . Afirmo que la terminación métrica de $(M,g)$ es homeomorfo a $C$ . De hecho, si $(x_i)$ es una secuencia de Cauchy en $(M, d_g)$ (donde $d$ es la función de distancia asociada a $(M,g)$ ), entonces, como $d(x,y)\le |x-y|$ se deduce que $(x_i)$ es también una secuencia de Cauchy en $R^4$ . Por lo tanto, su límite (euclidiano) está en el cierre de $M$ sur $R^4$ . Así, obtenemos un mapa $f: \overline{(M,d)}\to C$ enviando la clase de equivalencia de $(x_i)$ a su límite euclidiano. Es fácil ver que $f$ es continua. Tenemos que comprobar que $f$ es biyectiva. La subjetividad de $f$ queda claro al considerar una secuencia $x_i= \frac{1}{i} x$ , donde $x\in M$ es arbitraria. Comprobemos la inyectividad. Consideremos dos secuencias de Cauchy $(x_i), (y_i)$ tal que $\lim x_i= \lim y_i=0\in R^4$ . Tenemos que demostrar que $$ \lim_{i\to\infty} d(x_i, y_i)=0. $$ Dejemos que $s_i= |x_i|$ , $t_i=|y_i|$ . Definir el punto $z_i= \frac{t_i}{s_i} x_i$ Por lo tanto, $|z_i|=|y_i|=t_i$ . Es fácil comprobar que $d(x_i, z_i)\to 0$ . Por lo tanto, $(z_i)$ es de nuevo una secuencia de Cauchy equivalente a $(x_i)$ . Además, si $D$ es el diámetro de $T^2$ con respecto a su métrica de Riemann, entonces $d(z_i, y_i)\le t_i D \to 0$ . Por lo tanto, $(z_i)$ también equivale a $(y_i)$ . Así, $(x_i), (y_i)$ representan el mismo punto de la terminación métrica de $(M,d)$ . Inyectabilidad de $f$ se deduce. Un argumento similar muestra la continuidad de $f^{-1}$ . Por lo tanto, $f$ es un homeomorfismo.
Por último, siendo un cono sobre un toroide, $C$ no es una variedad topológica (ya que al quitar el origen cambia su grupo fundamental, lo que no puede ocurrir para una variedad topológica).
Hay otros ejemplos que se pueden construir, por ejemplo, eliminando del plano euclidiano una colección adecuada de discos redondos cerrados disjuntos que convergen a un punto. Pero demostrar que la terminación métrica es homeomorfa a la clausura en el plano euclidiano (que tampoco es una variedad, ya que no está localmente conectada de forma simple) es un poco más difícil.
