¿Todas las EDOs provienen de algo en la física?

Question

No estoy seguro de si esto es apropiado para Math Overflow, pero creo que hay alguna manera de hacer esto preciso, aunque no estoy seguro de cómo hacerlo yo mismo.

Digamos que tengo una desagradable EDO, no lineal, quizás extremadamente singular. Apareció de forma natural matemáticamente (en realidad estoy pensando en Painleve VI, que viene de representaciones de isomonodromía) pero tengo un poco de físico dentro de mí, así que aquí está la pregunta. ¿Puedo construir, en cada caso, un sistema físico modelado por esta ecuación? Tal vez sólo un extraño sistema de osciladores armónicos acoplados, algo así. Hay algunos sistemas físicos cuyos modelos se entienden bien, y básicamente estoy preguntando si hay una construcción que tome una EDO y construya alguna combinación de estos sistemas de los que controla la dinámica.

Cualquier aportación sería útil, incluso si es simplemente "No", aunque en ese caso, una razón estaría bien.

Answer 1

Es posible resolver una gran clase de EDOs mediante ordenadores analógicos. Cada una de las piezas de la ecuación diferencial corresponde a un componente electrónico y, si se conectan de forma correcta, se obtiene un circuito descrito por la EDO. Wikipedia tiene mucha información sobre el tema y un enlace como este uno da ejemplos explícitos de circuitos. No es difícil construir circuitos para cosas como el Ecuación de Lorenz y ver un bonito atractor de Lorenz en un pantalla del osciloscopio .

Answer 2

Puede que no sea la respuesta que buscas, pero creo que deberías poder escribir la ecuación de Painlevé VI como un sistema hamiltoniano, en cuyo caso gobernaría la dinámica de algún sistema "físico". La razón de las dobles comillas es que quizás no sea un sistema que surja en la naturaleza. Lo más probable -aunque no lo sé con seguridad- es que no se trate de osciladores armónicos acoplados.

De forma menos directa, las ecuaciones de Painlevé surgen en el estudio de jerarquías integrables, algunas de las cuales (por ejemplo, KdV, Schrödinger no lineal,...) se utilizan para modelar fenómenos naturales.

Editar

Se puede encontrar una forma explícita para el Hamiltoniano de Painlevé VI ici justo después del Teorema 2.1. Aunque es polinómico, depende explícitamente del "tiempo". Por lo tanto, como sistema hamiltoniano no es muy natural. Por un lado, la energía no se conserva. Esto es de esperar, ya que Painlevé VI no es en sí mismo integrable, lo que tendría que ser si se pudiera encontrar una cantidad conservada ya que es un sistema unidimensional.

Answer 3

Una respuesta bastante tonta es que la respuesta es obviamente "Sí", ya que se puede construir un ordenador para integrar soluciones numéricas a su EDO. (Ahora que lo pienso, la respuesta de Sigfpe es esencialmente la misma que la mía).

Siguiendo esta línea, supongo que se pueden encontrar modelos más "físicos" de mi sugerencia (en el sentido de que hacer física es a menudo encontrar modelos de juguete que contengan la esencia de los fenómenos, etc.) proponiendo varios modelos de celosía o autómatas celulares que se sabe que tienen constructores universales . O diseñando circuitos hechos con bolas y muelles.

Me pasé un poco de tiempo tratando de poner las palabras adecuadas que hicieran tu pregunta más precisa y más acorde con tu intención, pero creo que en última instancia se reduce a qué tipo de modelos físicos estarías satisfecho.

Como gran parte de la física puede describirse en términos de EDO, cualquier tipo de modelo suficientemente potente va a contener el tipo de respuesta que he descrito anteriormente. Creo que la pregunta correcta es cuál es el modelo físico "más simple" (o quizás "más débil") conocido para Painlevé VI.

Un tipo de respuesta a esa pregunta sería encontrar un sistema físico para el que alguna solución de Painlevé VI diera alguna función físicamente medible -en este sentido, sé que las funciones de Painlevé son muy útiles en varios modelos integrables / modelos de celosía, por ejemplo, famosamente, la función de correlación espín-espín en el modelo Ising 2D en el límite de escala es una solución de Painlevé III - Por lo tanto, mi suposición es que Painlevé VI aparece en uno de estos contextos, pero la literatura es bastante amplia.

Answer 4

Yo voto que no. Sea n un número entero positivo lo suficientemente grande como para que los números mayores no puedan escribirse razonablemente utilizando la recursión primitiva. Tomemos una EDO no lineal genérica que implique unos n términos con derivadas de orden alrededor de n. Yo diría que esto no modela nada físico, y no puede ser integrado por ningún dispositivo que quepa en el universo.

Si se exige que la EDO sea razonablemente pequeña (por ejemplo, que sea matemáticamente interesante), entonces modela tautológicamente el comportamiento de un dispositivo configurado para integrarla. Realmente no tengo una respuesta a la pregunta más amplia de por qué ciertas ecuaciones diferenciales aparecen en áreas de las matemáticas cercanas a la física donde realmente no se las espera.

Answer 5

Para la pregunta general voto que no. Tal y como lo has formulado lo veo, potencialmente, como una cuestión de álgebra diferencial. Aunque no hay una definición de proceso físico me imagino que se puede formalizar a través de restricciones en las extensiones de campo permitidas para resolver su ecuación. El resultado prototípico que tengo en mente es Teorema de Liouville .

Si en cambio se especializa la pregunta general a la ecuación de Painleve entonces apostaría que la respuesta es sí. La ecuación de Painlevé es uno de esos objetos omnipresentes en las matemáticas y no me sorprendería que modelara un fenómeno físico. fenómeno físico. Ya me crucé con un Springer Lecture Notes relacionándolo con la geometría de las superficies.

Como comentario adicional, permítanme observar que las ecuaciones de Painlevé fueron originalmente originalmente como ecuaciones que gobiernan las deformaciones isomonodromas, sino como ecuaciones de segundo orden no lineales que tienen la llamada propiedad de Painlevé (ausencia de puntos singulares móviles). de segundo orden que tienen la llamada propiedad de Painlevé (ausencia de puntos singulares móviles).