Tipo de homotopía racional no conmutativa

Question

Vale, esta pregunta es mucho menos ambiciosa de lo que puede parecer, pero aun así:

Dos álgebras diferenciales conmutativas graduadas (cdga's) son cuasi-isomorfas si pueden ser conectadas por una cadena de cuasi-isomorfismos cdga. Existe una definición similar para las álgebras diferenciales graduadas no necesariamente conmutativas (dga's).

1. Si dos $\mathbf{Q}$ -Cdga's, $A$ y $B$ son cuasi-isomórficos como dga, ¿son necesariamente cuasi-isomórficos como cdga? Sospecho que la respuesta es no, pero no conozco ningún contraejemplo, ni puedo probar que tales contraejemplos existan.

2. La misma pregunta que la 1 cuando $A$ y $B$ son los Sullivan $\mathbf{Q}$ -polinómicas de cocheras de poliedros compactos simplemente conectados. En otras palabras, ¿es el "tipo de homotopía racional no conmutativo" de los poliedros compactos simplemente conectados el mismo que el tipo de homotopía racional habitual?

Answer 1

Creo que la respuesta a la primera pregunta es "Sí". He aquí la razón:

Fija un campo k de característica 0 (has preguntado por k = Q).

Sean C y D álgebras DG k (graduadas) conmutativas. Entonces existe un cuasi-isomorfismo no conmutativo de C a D si existe un $A_{\infty}$ Quasi-iso $F:C \to D$ . (De hecho es más cierto--- hay una correspondencia uno a uno entre las clases de equivalencia de los cuasi-iso's no conmutativos y las clases de equivalencia de $A_\infty$ morfismos).

Dado que existe un cuasi-isomorfismo conmutativo de C a D si existe un $C_{\infty}$ cuasi-iso $G: C \to D$ Su pregunta se puede reformular de la siguiente manera: "Supongamos que C,D son álgebras DG k conmutativas, y $F: C \to D$ es un $A_{\infty}$ mapa. ¿Implica esto la existencia de un $C_{\infty}$ mapa?"

Podemos describir $A_{\infty}, C_{\infty}$ mapas como sigue: para un dga A, podemos considerar la álgebra cofree (conilpotente) $T^c(A)$ y observamos que la estructura dga mapea $d: A \to A, \cdot: A \otimes A \to A$ definir un mapa $T^c(A) \to A$ proyectando en $A \oplus (A \otimes A)$ y luego hacer $d$ en el primer factor y $\cdot$ en el segundo. Este mapa puede extenderse como una coderivación $D_A:T^c(A) \to T^c(A)$ y la afirmación es que $D_A^2 = 0.$ Un $A_{\infty}$ mapa $F:A \to B$ es por definición un mapa dg-coalgebra $F:(T^c(A), D_A) \to (T^c(B), D_B)$ . Del mismo modo, una dga conmutativa da lugar a una coalgebra dg cocomutativa cofree, utilizando $S^c$ y $C_{\infty}$ Los morfismos son mapas dg-coalgebra entre estos. Un $C_{\infty}$ mapa es en realidad un $A_{\infty}$ con algunas propiedades de simetría (ya que $S^c \hookrightarrow T^c$ ).

Aquí hay un primer paso en el argumento "hasta los signos" que puede simetrizar el $A_{\infty}$ mapa F.

Para obtener una $C_{\infty}$ mapa de F, escriba $F = f + f_2 + f_3 + \cdots$ , donde $f_n : C^{\otimes n} \to D$ . Entonces la condición de que $F$ es un $A_{\infty}$ da el morfismo $(df_2)(x,y) = f(x) \cdot_{D} f(y) \pm f(x \cdot_{C} y)$ donde $df_2$ debe entenderse como el diferencial en el complejo Hom $Hom(C^{\otimes 2}, D)$ . Como los productos en C y D son conmutativos, en realidad obtenemos: $(df_2)(x,y) = f(x) \cdot_{D} f(y) \pm f(x \cdot_{C} y) = \pm f(y) \cdot_D f(x) \pm f(y \cdot_C x) = (df_2)(y,x)$ por lo que vemos que al menos $(df_2)$ es simétrica graduada. Como k tiene la característica 0, podemos definir

$g_2 := \frac{1}{2} \left( f_2 + f_2^{op} \right)$

y como

$(dg_2) = \frac{1}{2} d \left( f_2 + f_2^{op} \right) = \frac{1}{2} \left( df_2 + d(f_2^{op}) = \frac{1}{2}( df_2 \pm (df_2)^{op} ) = (df_2) \right)$

vemos que $dg_2$ sigue proporcionando la homotopía entre $f( \cdot_C )$ y $f( ) \cdot f( )$ .

Creo que un argumento en esta línea también proporcionará una adecuada $g_n$ para $n \geq 3$ .

Me pregunto si alguien puede dar una respuesta "sin sentido abstracto" a lo largo de las siguientes líneas: el functor i: DGA conmutativa -----> DGA no conmutativa tiene un adjunto izquierdo que preserva los cuasi-iso (¿la abelianización preserva los mapas que inducen isomorfismos en Homología?), y así podemos verificar que la imagen de DGAs conmutativos en (DGAs no conmutativos) $[W^{-1}]$ tiene la propiedad universal de que una localización (DGA conmutativa) $[W^{-1}]$ debería tener... (Donde $W$ debe tomarse como la colección de mapas que inducen isos en homología en cada categoría).

Answer 2

Creo que me equivoqué en mi respuesta. La cuestión es que tengo un mapa de álgebras asociativas dg, efectivamente induce un mapa sobre elementos primitivos, pero estos elementos primitivos son los cogeneradores, es decir elementos de $A[1]$ , no de $Lie(A[1])$ . Así que no puedo deducir que tengo un mapa inducido de dg Lie coalgebras libres. No sé si es el caso o no, pero mi especulación ciertamente falla.

Estimado James, con respecto a su pregunta 2). Aquí no hay ningún error. La diferencia con el caso complejo de barra es que no es potencia tensorial de generadores como COMPLEJO. En el caso conmutativo, la (co)álgebra de Lie libre está cerrada bajo el diferencial, y todo el complejo es la potencia simétrica (por PBW) de esta (co)álgebra de Lie COMO COMPLEJO. Es decir, la única componente de la diferencial proviene de esta (co)álgebra de Lie libre dg, y tenemos la potencia simétrica de un complejo. Así que la afirmación se lee como: si dos complejos son quis, sus potencias simétricas también lo son.

Answer 3

Esto es un intento de reformular parte de la respuesta de Joey y también de añadir las operaciones superiores necesarias.

Supongamos que tenemos dos cdgas A y C y que están conectados por un $A_\infty$ morfismo. Esto se codifica como un mapa de $BA$ la construcción de barra asociativa sobre A a C. A $C_\infty$ está codificado por un morfismo de la construcción de barra conmutativa, $B_cA$ Hay una transformación natural desde el funtor de álgebra libre coasociada al funtor de álgebra libre colada y esto coincide con una transformación natural desde el funtor de barra asociativa a conmutativa. Esto es, por supuesto, la dirección equivocada, la transformación natural dice "cada $C_\infty$ es un morfismo $A_\infty$ morfismo".

Para ir a la inversa observamos que los mapas $BA\rightarrow B_cA$ dividido. No ofreceré una prueba aquí pero la prueba pasa por construir ciertos idempotentes, se conoce como la descomposición de Hodge del complejo de barras de un álgebra conmutativa. Ahora tenemos la composición

$B_cA\rightarrow BA \rightarrow C$

que es nuestro $C_\infty$ morfismo. Advertencia El $A_\infty$ morfismo que obtenemos de esto $C_\infty$ El morfismo no es necesariamente con el que empezamos, simplemente hemos quitado todas las "cosas" que vienen de otras partes de una filtración de Hodge.

Por último, me gustaría añadir que tu intuición era ampliamente correcta, habrá ejemplos de casos no char 0 en los que la respuesta a tu pregunta será "no".