Tipo de homotopía racional no conmutativa

Question

Vale, esta pregunta es mucho menos ambiciosa de lo que puede parecer, pero aun así:

Dos álgebras diferenciales conmutativas graduadas (cdga's) son cuasi-isomorfas si pueden ser conectadas por una cadena de cuasi-isomorfismos cdga. Existe una definición similar para las álgebras diferenciales graduadas no necesariamente conmutativas (dga's).

1. Si dos $\mathbf{Q}$ -Cdga's, $A$ y $B$ son cuasi-isomórficos como dga, ¿son necesariamente cuasi-isomórficos como cdga? Sospecho que la respuesta es no, pero no conozco ningún contraejemplo, ni puedo probar que tales contraejemplos existan.

2. La misma pregunta que la 1 cuando $A$ y $B$ son los Sullivan $\mathbf{Q}$ -polinómicas de cocheras de poliedros compactos simplemente conectados. En otras palabras, ¿es el "tipo de homotopía racional no conmutativo" de los poliedros compactos simplemente conectados el mismo que el tipo de homotopía racional habitual?

Answer 1

Una respuesta afirmativa (a ambas preguntas) apareció hoy en el arxiv, debido a Campos, Petersen, Robert-Nicoud, Wierstra: https://arxiv.org/abs/1904.03585

Answer 2

Puedo decir que si A y B son DGA conmutativos sobre Q que son conectivos (sus grupos de homología son cero en grados negativos, utilizando la graduación homológica), entonces A y B son equivalentes. La única prueba que se me ocurre es un argumento de Postnikov basado en el teorema de Hochschild-Kostant-Rosenberg.

Es decir, que P _n A y P _n B sean etapas de Postnikov, que tienen la misma homología que A y B respectivamente en grados menores o iguales a n y cero por encima; puedes construirlas añadiendo nuevos generadores polinómicos a A y B con diferenciales que borren las clases de homología superiores. Supongamos que ya has construido una equivalencia de P _n A a P _n B.

Entonces P _n+1 A y P _n+1 B se clasifican por sus próximas k-invariantes. En el caso asociativo se trata de un elemento de la cohomología de Hochschild de P _n A con coeficientes en un desplazamiento del módulo M = H _n+1 A = H _n+1 B, y de forma similar para B. En el caso conmutativo se trata de un elemento de la cohomología de Andre-Quillen. Estos se clasifican mediante mapas de la homología de Hochschild (estrictamente hablando, su ideal de aumento) y la homología de Andre-Quillen (un desplazamiento de las diferenciales de Kahler derivadas) a este desplazamiento de M.

Como estamos en característica cero, el teorema HKR nos dice que la homología de Hochschild es el álgebra libre graduada-comutativa (derivada) sobre P _n A en la homología Andre-Quillen. En particular, hay una retracción hacia abajo. Esto implica que la colección de posibles k-invariantes conmutativas que construyen una extensión de P _n A por M son a subconjunto de las posibles k-invariantes asociativas.

En consecuencia, si P _n+1 A y P _n+1 B tienen una equivalencia fija como álgebras asociativas, que implica que sus k-invariantes asociativas son iguales. De ahí que sus k-invariantes conmutativas sean iguales, por lo que esto nos permite elevar a una equivalencia de álgebras conmutativas.

Se trata de un problema de escasa importancia. El hecho de que haya necesitado asumir la conectividad para este argumento es bastante molesto, y no estoy seguro de si es material o simplemente un fallo por mi parte para conseguir algo general. Tal vez alguien más pueda hacerlo mejor.

AÑADIDO MÁS TARDE: Creo que el mismo argumento básico funciona en el caso coconectivo bajo hipótesis añadidas (por ejemplo, que el álgebra sea simplemente conectada, teniendo sólo Q en grado 0 y 0 en grado 1). Desgraciadamente no se pueden construir etapas de Postnikov tan fácilmente para álgebras coconectivas generales.

Por ejemplo, sea A la DGA conmutativa Q[x,y,s,t] ⊗ Λ[w], un álgebra libre sobre generadores x,y,s,t de grado cero y w de grado (cohomológico) 1, que satisface dx = dy = dw = 0, ds = xw, dt = wy. Entonces existe un producto de Massey <x,w,y> = sy - xt en cohomología de grado 0 que es distinta de cero, y cualquier mapa de A a una DGA que tenga cohomología cero en grados positivos debe necesariamente enviar w a cero, y por tanto también este producto de Massey.

Tengo la vaga sensación de que en este caso simplemente conectado (y también en el caso conectivo) podría haber un argumento mucho más corto que implicara modelos mínimos.

Answer 3

Creo que la respuesta a la primera pregunta es "sí". No estoy de acuerdo con el argumento de Joey porque utiliza una definición errónea de $Comm_\infty$ morfismo. Permítanme recordar primero la definición correcta. A $Comm_\infty$ álgebra $C$ es una coderivación $Q$ tal que $Q^2=0$ en la álgebra LIE cofree cogenerada por $C[1]$ . Por lo tanto, debería ser una álgebra de Lie libre, no conmutativa. Ahora un $Comm_\infty$ es sólo un mapa de entre las dos álgebras de Lie cofree que conmuta con $Q$ . Es un quis si es, además, un quis de complejos.

Bien, ahora supongamos que $C$ y $D$ son dos cdga colocados en cualquier grado. Si son $A_\infty$ quis, significa que existe un mapa de álgebra dg cofree cogenerado por $C[1]$ al mismo tipo cogenerado por $D[1]$ . Este es un mapa de álgebras, luego define un mapa entre sus elementos primitivos.

(Recordemos $x$ es primitivo si $\Delta x=1\otimes x+x\otimes 1$ ). Apriori esto da un mapa de coaliciones de Lie libres, pero NO de coaliciones de Lie dg. Además, si $C$ y $D$ sería no conmutativo, los elementos primitivos no estarían cerrados bajo la diferencial. Pero si $C$ y $D$ son conmutativos, los mapas de las álgebras de Lie de los elementos primitivos es un mapa de dg álgebras de Lie.

Sólo queda señalar que este mapa de dg Lie coalgebras es quis; entonces es por definición un $Comm_\infty$ mapa de quis. Pero esto se deduce fácilmente del teorema de PBW. La álgebra tensorial como espacio vectorial es la (co)álgebra simétrica de la álgebra de Lie libre. Si el mapa de las álgebras de Lie no fuera un quis, el correspondiente mapa de sus potencias simétricas tampoco sería un quis. Esto contradiría que el mapa inicial fuera un $A_\infty$ quisieran.

Hemos terminado.

Answer 4

En cuanto a la pregunta 1: el caso de que una de las dos álgebras tenga diferencial evanescente se demuestra como uno de los principales teoremas del siguiente artículo de Bashar Saleh: "Noncommutative formality implies commutative and Lie formality", Algebr. Geom. Topol. Volumen 17, Número 4 (2017), 2523-2542.

En otras palabras, un cdga sobre $\mathbf Q$ que es formal como dga es también formal como cdga.

Answer 5

Por lo que sé, para complejos conectados de grado positivo y simplemente conectados con diferencial de grado $+1$ incluso en la característica $0$ (correspondiente al caso de la teoría racional de la homotopía), esto es un problema abierto.

Así que sería bueno tener un documento publicado que lo resuelva.