Transformada inversa de Laplace (caso del logaritmo natural)

Question

Tengo un problema sobre la Transformada Inversa de Laplace, me gustaría que me ayudaran a resolver este problema (me ha llevado varias horas pensar pero no he dado con ninguna solución).

Por favor, encuentre la transformada inversa de laplace de : $$\ln\left(1+\frac{a^2}{s^2}\right)$$ donde " $a$ " es una constante.

Answer 1

Supongamos que existe una función $f$ tal que $$ \ln\left(1+\frac{a^2}{s^2}\right)=\int_{0}^{\infty}f(t)e^{-st}dt. $$ Entonces, diferenciando con respecto a $s$ , daría $$ -\frac{1}{1+\frac{a^2}{s^2}}\frac{2a^2}{s^3}=-\int_{0}^{\infty}f(t)te^{-st}dt \\ \frac{2a^2}{s(s-ia)(s+ia)}=\int_{0}^{\infty}f(t)te^{-st}dt \\ \left[\frac{2}{s}-\frac{1}{s-ia}-\frac{1}{s+ia}\right]=\int_{0}^{\infty}f(t)te^{-st}dt \\ \int_{0}^{\infty}\left[2-e^{iat}-e^{-iat}\right]e^{-st}dt =\int_{0}^{\infty}f(t)te^{-st}dt \\ 2-e^{-iat}-e^{iat}=f(t)t \\ 2\frac{1-\cos(at)}{t}=f(t). $$