Sea $\mathcal{X}$ un espacio de Banach real o complejo. Es un hecho bien conocido que $\mathcal{X}$ es un espacio de Hilbert (es decir, la norma proviene de un producto interno) si se cumple la identidad del paralelogramo.
Pregunta: ¿Existen otras caracterizaciones (simples) para que un espacio de Banach sea un espacio de Hilbert?
De este artículo por O. N. Kosukhin:
Un espacio de Banach real $(X, \|\cdot\|)$ es un espacio de Hilbert si y solo si para cualquier tres puntos $A$, $B$, $C$ de este espacio que no pertenecen a una línea, hay tres alturas en el triángulo $ABC$ que se intersectan en un punto.
Muchas otras referencias muestran al buscar en Google
"es un espacio de hilbert si" banach
Para los realmente perezosos entre nosotros: google.com/search?q=%22is+a+hilbert+space+if%22+banach
Más caracterizaciones se encuentran en el libro de Haim Brezis (Analyse fonctionnelle), en el apéndice del Capítulo 5. Voy a copiar dos de ellas a continuación, junto con las referencias:
También, si $ E $ es isomorfo a todos sus subespacios de dimensión infinita, entonces es isomorfo a un espacio de Hilbert separable (Gowers, Annals of Mathematics, 2002).
Solo dos caracterizaciones isométricas / isomórficas:
Un espacio de Banach $X$ es [isométrico a] un espacio de Hilbert si y solo si existe un espacio de Banach $Y$ y un mapeo bilineal simétrico $f:X\times X\rightarrow Y$ que satisface
$||f(x,z)||$ $=$ $||x||\cdot||z|$| para todos $x,z$ $\in$ $X$.
[J. Becerra Guerrero & A. Rodriguez-Palacios]
Un espacio de Banach es [isomorfo a] un espacio de Hilbert si y solo si es uniformemente homeomórfico a un espacio de Hilbert. [Per Enflo]
En esta simple nota http://arxiv.org/abs/0907.1813 (por aparecer en Colloq. Math.), Rossi e yo probamos una caracterización en términos de "inversión del teorema de representación de Riesz".
Aquí está el resultado: sea $X$ un espacio normado y recuerde la ortogonalidad de Birkhoff-James: $x\in X$ es ortogonal a $y\in X$ si para todo escalar $\lambda$, se cumple $||x||\leq||x+\lambda y||$.
Sea $H$ un espacio de Hilbert y $x\rightarrow f_x$ sea la representación de Riesz. Observe que $x\in Ker(f_x)^\perp$, lo cual puede ser requerido usando la ortogonalidad de Birkhoff-James:
Teorema: Sea $X$ un espacio normado (resp. de Banach) y $x\rightarrow f_x$ sea una aplicación isométrica de $X$ a $X^*$ tal que
1) $f_x(y)=\overline{f_y(x)}$
2) $x\in Ker(f_x)^\perp$ (en el sentido de Birkhoff y James)
Entonces $X$ es un espacio pre-Hilbert (resp. de Hilbert) y la aplicación $x\rightarrow f_x$ es la representación de Riesz.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
10 votos
Re: Comentario de Leonid; Otra caracterización isomórfica de espacios de Hilbert es que un espacio de Banach $X$ es isomorfo a un espacio de Hilbert si y solo si cada subespacio lineal cerrado de $X$ es complementado (es decir, es el rango de una proyección lineal continua en $X). Creo que este resultado se debe a Lindenstrauss y Tzafriri. Otro resultado en esta línea es que un espacio de Banach separable de dimensión infinita $X$ es isomorfo a $\ell_2$ si y solo si cada subespacio cerrado de dimensión infinita de $X$ es isomorfo a $X$. Creo que este resultado se debe a Tim Gowers.
12 votos
Caracterizar los espacios de Hilbert isomórficamente es un tema muy interesante en la teoría de espacios de Banach. Otro es que cada operador nuclear en el espacio tiene valores propios absolutamente sumables. Abierto está si un espacio de Banach cuyos subespacios tienen una base incondicional debe ser isomorfo a un espacio de Hilbert. Una no caracterización es que hay espacios de Banach no isomorfos a un espacio de Hilbert cuyos subespacios tienen una base de Schauder.
1 votos
Me pregunto si el álgebra $\mathcal{B}(X)$ de todos los operadores lineales acotados en el espacio de Banach $X$ es un álgebra $C*$ con la norma del operador si y solo si $X$ es isométricamente isomorfo a un espacio de Hilbert. También hay muchas variantes isomórficas que se podrían plantear en esta dirección. En una nota relacionada, el teorema de Eidelheit ($\mathcal{B}(X)$ y $\mathcal{B}(Y)$ son isomorfos como álgebras de Banach si y solo si $X$ e $Y$ son isomorfos como espacios de Banach) da una caracterización isomorfa de los espacios de Hilbert, aunque probablemente no sea fácil de verificar.
0 votos
Acabo de notar esta pregunta de Philip Brooker, ya que la pregunta original fue empujada por una nueva respuesta. Pienso que he visto una prueba (en el trabajo de Daws) de que si E y F son espacios de Banach y tenemos un homomorfismo con rango cerrado unitario de A(E) en B(F), entonces E es isomorfo a un subespacio débilmente complementado de F. Si he recordado esto correctamente, entonces respondería a la variante isomórfica natural de la pregunta de Philip.
0 votos
Yemon, gracias por llamarme la atención.
1 votos
Hay una caracterización en la teoría de conjuntos espectrales, c.f. []. Es decir, si el disco cerrado $\{\lambda : |\lambda| \leq \|T\|\}$ es un conjunto espectral para cada operador lineal continuo $T$ en un espacio de Banach $X$, entonces $X$ es un espacio de Hilbert (la conversa fue demostrada previamente por von Neumann). [] C. Foias , Sur certains théorèmes de J. von Neumann concernant les ensembles spectraux. Acta Sci. Math. (Szeged) 18 (1957), pp. 15–20
0 votos
@PhilipBrooker Me pregunto si hay un ejemplo evidente de dos espacios de Hilbert no isométricos $H, K$ que sean espacios de Banach isomorfos.