Sea X un espacio de Banach real o complejo. Es un hecho bien conocido que X es un espacio de Hilbert (es decir, la norma proviene de un producto interno) si se cumple la identidad del paralelogramo.
Pregunta: ¿Existen otras caracterizaciones (simples) para que un espacio de Banach sea un espacio de Hilbert?
Sí, hay muchas caracterizaciones (simples) de cuándo un espacio normado es un espacio de producto interno. Aquí hay dos referencias de libros, uno con vista previa en Google (Estructuras de Producto Interno: Teoría y Aplicaciones de V.I. Istratescu), el otro que esperemos puedas encontrar en tu biblioteca (Caracterizaciones de Espacios de Producto Interno de Dan Amir).
Desde el punto de vista de variedades y curvatura, el siguiente resultado es válido:
Un espacio de Banach es un espacio de Hilbert si y solo si es un espacio NPC (curvatura no positiva). http://www.iam.uni-bonn.de/fileadmin/WT/Inhalt/people/Karl-Theodor_Sturm/papers/paper41.pdf
S. Kwapien demostró en "Caracterizaciones isomórficas de espacios de productos internos mediante series ortogonales con coeficientes vectoriales" (Studia Mathematica 44, 1972) que los espacios de Banach en los que es válida la desigualdad de Khintchine con valores vectoriales, son espacios de Hilbert. Para ser más precisos, un espacio de Banach X es isomorfo a un espacio de Hilbert si y solo si X tiene tipo 2 y cotype 2, es decir, si existen constantes c, C > 0 tales que para todo n en \(\mathbb N\) y todos x_1, \dots, x_n en X c \Big(\sum_{i=1}^n\|x_i\|^2\Big)^{1/2} \leq \bigg(\int_0^1 \Big\| \sum_{i=1}^nr_i(t)x_i \Big\|^2 \bigg)^{1/2} \leq C \Big(\sum_{i=1}^n\|x_i\|^2\Big)^{1/2}
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Re: Comentario de Leonid; Otra caracterización isomórfica de espacios de Hilbert es que un espacio de Banach X es isomorfo a un espacio de Hilbert si y solo si cada subespacio lineal cerrado de X es complementado (es decir, es el rango de una proyección lineal continua en X). Creo que este resultado se debe a Lindenstrauss y Tzafriri. Otro resultado en esta línea es que un espacio de Banach separable de dimensión infinita X es isomorfo a \ell_2 si y solo si cada subespacio cerrado de dimensión infinita de X es isomorfo a X$. Creo que este resultado se debe a Tim Gowers.
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Caracterizar los espacios de Hilbert isomórficamente es un tema muy interesante en la teoría de espacios de Banach. Otro es que cada operador nuclear en el espacio tiene valores propios absolutamente sumables. Abierto está si un espacio de Banach cuyos subespacios tienen una base incondicional debe ser isomorfo a un espacio de Hilbert. Una no caracterización es que hay espacios de Banach no isomorfos a un espacio de Hilbert cuyos subespacios tienen una base de Schauder.
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Me pregunto si el álgebra \mathcal{B}(X) de todos los operadores lineales acotados en el espacio de Banach X es un álgebra C* con la norma del operador si y solo si X es isométricamente isomorfo a un espacio de Hilbert. También hay muchas variantes isomórficas que se podrían plantear en esta dirección. En una nota relacionada, el teorema de Eidelheit (\mathcal{B}(X) y \mathcal{B}(Y) son isomorfos como álgebras de Banach si y solo si X e Y son isomorfos como espacios de Banach) da una caracterización isomorfa de los espacios de Hilbert, aunque probablemente no sea fácil de verificar.
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Acabo de notar esta pregunta de Philip Brooker, ya que la pregunta original fue empujada por una nueva respuesta. Pienso que he visto una prueba (en el trabajo de Daws) de que si E y F son espacios de Banach y tenemos un homomorfismo con rango cerrado unitario de A(E) en B(F), entonces E es isomorfo a un subespacio débilmente complementado de F. Si he recordado esto correctamente, entonces respondería a la variante isomórfica natural de la pregunta de Philip.
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Yemon, gracias por llamarme la atención.
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Hay una caracterización en la teoría de conjuntos espectrales, c.f. []. Es decir, si el disco cerrado \{\lambda : |\lambda| \leq \|T\|\} es un conjunto espectral para cada operador lineal continuo T en un espacio de Banach X, entonces X es un espacio de Hilbert (la conversa fue demostrada previamente por von Neumann). [] C. Foias , Sur certains théorèmes de J. von Neumann concernant les ensembles spectraux. Acta Sci. Math. (Szeged) 18 (1957), pp. 15–20
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@PhilipBrooker Me pregunto si hay un ejemplo evidente de dos espacios de Hilbert no isométricos H, K que sean espacios de Banach isomorfos.