Uniones de ordinales y sus supremos

Question

Estoy tratando de construir una colección anidada $\{S_k:\,k\in \omega\}$ de conjuntos de ordinales tales que el tipo de orden de $\bigcup_k S_k$ no es el sumo de los tipos de orden de $S_k$ y también dar una condición a la $S_k$ de tal manera que no es posible una construcción de este tipo (tal y como está redactado el problema).

Inspirado por $1+2+\cdots+\omega=\omega\cdot 2$ Me imaginé que enumerar $\{\alpha:\;\alpha<\omega+1\}=\{S_0,S_1\dots\}$ y tomando $\bigcup S_i$ me daría $\omega\cdot 2$ donde el sup de los tipos de orden es simplemente $\omega$ (o $\omega+1$ no estoy seguro). ¿Es eso correcto?

Mi plan inicial era en realidad $S_k=\{0,\dots,k,\omega\}$ (ya que la pregunta sólo estipula "conjuntos de ordinales"), pero entonces me di cuenta de que podríamos tener $\bigcup S_k=\omega$ y de hecho el tipo de orden de $S_k\neq\omega$ pero posiblemente sólo $k+1$ . Confundido sobre toda la idea básicamente, un comentario sobre eso sería útil también.

Por último, en cuanto a la condición, al principio pensé que si el $S_k$ son finalmente una cadena de sucesores entonces esta unión será la $\sup$ de los tipos de orden pero, de nuevo, no estoy seguro de si esta es la condición que buscamos o si es siquiera cierta.

Agradecería un poco de ayuda para entender los conceptos en juego aquí...

Answer 1

Su plan inicial funciona bien. Cada $S_k$ tiene tipo de orden $k+1$ por lo que el supremum de los tipos de orden es $\omega$ . Pero la unión es $\omega+1$ que es estrictamente mayor.

La razón por la que la unión es $\omega+1$ es que $\omega$ es un miembro de la unión, y la unión es de hecho un ordinal, por lo que no puede ser $\omega$ mismo. También puedes jugar con esto para obtener cualquier ordinal por debajo de $\omega\cdot2$ pero también $\omega\cdot\omega$ tomando $S_k=\{0,\ldots,k,\omega,\ldots,\omega+k\}$ .

Esencialmente, siempre que $\alpha$ es un ordinal contable, se puede enumerar y definir una secuencia de conjuntos finitos que aumentan hacia $\alpha$ ; entonces si $\alpha>\omega$ se obtiene algo así. Tenga en cuenta que como $S_k$ no es necesariamente finito, se puede utilizar para concluir algo sobre el cofinalidad de los ordinales en juego aquí.

Answer 2

Exponenciación ordinal: Para los ordinales $A,B$ el ordinal $A^B$ es el tipo de orden del conjunto $S(A,B)$ de las funciones $f:B\to A$ tal que $\omega > |\{b\in B:f(b)\ne 0\}|,$ con la orden inversa a la de los demás $<_{r}$ : Cuando $f,g \in S(A,B)$ con $f\ne g$ y $c=\max \{b\in B:f(b)\ne g(b)\}$ entonces $f<_{r}g\iff f(c)<g(c).$

Dejemos que $A=\omega$ y $B=\omega +1.$ Para $n\in \omega,$ dejar $$S_n=\{f\in S(A,B): f(\omega)\leq n \land \forall x\in \omega \;(f(x)\ne 0\implies x\leq n)\}.$$ Entonces $S_n\subset S_{n+1}$ y OT $(S_n)=\omega^{n+1}\cdot (n+1)<\omega^{n+1}\cdot \omega=\omega^{n+2}<\omega^{\omega}.$ Así que tenemos $$\sup_{n\in \omega}\text {OT}(S_n)=\omega^{\omega}< \omega^{\omega +1}=\cup_{n\in \omega}S_n=\text {OT}(\cup_{n\in \omega}S_n).$$

Se trata de una variación del tema "La paradoja de Rado-Milner": Si $k$ es un cardinal infinito y $k\leq x<k^+$ existe $T=\{K_n:n\in \omega\}$ con $\cup T=x,$ y OT $(K_n)\leq k^n$ para cada $n\in \omega.$ (Donde $k^n$ denota la exponenciación ordinal).