Convergencia de $f_n(x)=\frac{x}{1+nx^2}$ y su derivado $f'_n(x)=\frac{1-nx^2}{(1+nx^2)^2}$ en $\mathbb{R}$

Question

Considere la secuencia $f_n(x)=\frac{x}{1+nx^2}$ en $x\in \mathbb{R}$ . También hay que tener en cuenta $f'_n(x)=\frac{1-nx^2}{(1+nx^2)^2}$ en $x \in \mathbb{R}$ .

Quiero comprobar su convergencia uniforme.

Convergencia de $f_n$ :

1. $f_n \to 0$ en punto a $\mathbb{R}$ .

2. $f_n(x) \ge 0$ para todos $x \in \mathbb{R}^+$ y $f_n$ es una función impar por lo que la obtención de un máximo global en $[0, \infty)$ proporcionará el uso con un límite superior de $|f_n(x)|$

3. $f_n'(x)=0 \iff x=0 \ \text{or} \ x=\frac{1}{\sqrt n}$
   En $x=0$ $f_n(x)$ es el mínimo global por lo que $f_n(x)$ alcanza su máximo global en $x=\frac{1}{\sqrt n}$ en $\mathbb{R}$
   $\implies M_n:=\operatorname{lub}\{|f_n(x)-0|:x \in \mathbb{R}\}=\frac{2}{\sqrt n} \to 0$
   $\implies f_n \to 0$ uniformemente en $\mathbb{R}$ .

Convergencia de $f'_n$ :

1. $f'_n(x) \to \begin{cases} 0 & x \ne 0 \\ 1 & x=0 \end{cases}$ en punto a $\mathbb{R}$ que dice $f'_n$ no puede ser uniformemente convergente en $\mathbb{R}$ ya que la función límite no es continua.

2. Puntos críticos de $f'_n(x)$ son $x=0$ y $x=\sqrt \frac{3}{2n} \to 0$
   $\implies f'_n$ es monótona y continua en [1,b] para cualquier $b>1$ para un tamaño suficientemente grande $n$ y converge puntualmente a $0$ .

Quiero asegurarme de que $f'_n$ converge uniformemente a $0$ en $[1,b]$ . ¿Cómo debo proceder?

Answer 1

No ha obtenido el límite puntual de $f_n'$ correctamente. El límite es $1$ para $x=0$ y $0$ para todos los demás $x$ . La convergencia es uniforme en cualquier intervalo compacto que no contenga $0$ : $|f_n'(x)| \leq \frac { 1+nM^{2}} {(1+\epsilon^{2}n)^{2}}$ si $M$ es un límite para $|x|$ en el intervalo dado $I$ y $\epsilon =\inf \{|x|: x \in I\}$ .

Answer 2

Nótese que la aplicación de la desigualdad AM-GM da inmediatamente que

$$\frac{|x|}{1+nx^2}\le \frac{|x|}{2\sqrt{nx^2}}=\frac1{2\sqrt n}$$

Por lo tanto, $f_n$ converge uniformemente a $0$ para $x\in \mathbb{R}$ .

A continuación, tenemos

$$f_n'(x)=\frac{1-nx^2}{(1+nx^2)^2}$$

Dejemos que $0<a<b$ y supongamos $x\in [a,b]$ . Entonces para $n\ge 1$

$$|f_n'(x)|= \frac{|nx^2-1|}{(nx^2+1)^2}\le \frac{nb^2+1}{(na^2+1)^2}$$

Por lo tanto, $f_n'(x)$ converge uniformemente a $0$ para $x\in [a,b]$ para $0<a<b$ . Y en la medida en que $f_n'$ es una función par, $f_n'(x)$ converge en $(-b,-a)$ también.