¿Cuál es la versión correcta de "particiones de la unidad implica cohomología de gavilla evanescente"

Question

Hay varios teoremas que conozco de la forma "Sea $X$ sea un espacio localmente anillado que obedezca alguna condición como la existencia de particiones de la unidad. Sea $E$ sea una gavilla de $\mathcal{O}_X$ módulos obedeciendo alguna condición agradable. Entonces $H^i(X, E)=0$ para $i>0$ ."

¿Cuál es la mejor manera de formular este resultado? Lo pregunto porque estoy seguro de que algún día acabaré enseñando esta materia y me gustaría hacerlo bien.

Hice una pregunta similar en nLab . Cualquiera que realmente entienda este material podría escribir algo por ahí. Si llego a ser tal persona, ¡haré el escrito!

---

Dos versiones que conozco:

(1) Supongamos que, para cualquier cubierta abierta $U_i$ de $X$ hay funciones $f_i$ y conjuntos abiertos $V_i$ tal que $\sum f_i=1$ y $\mathrm{Supp}(f_i) \subseteq U_i$ . Entonces, para $E$ cualquier gajo de $\mathcal{O}_X$ módulos, $H^i(X,E)=0$ . Desentrañando la definición de apoyo, $\mathrm{Supp}(f_i) \subseteq U_i$ significa que existen conjuntos abiertos $V_i$ tal que $X = U_i \cup V_i$ y $f_i|_{V_i}=0$ .

Obsérvese que la existencia de particiones de la unidad se enuncia a veces como la condición más débil de que $f_i$ es cero en el conjunto cerrado $X \setminus U_i$ . Si $X$ es regular Creo que la existencia de particiones de la unidad en un sentido implica el otro. Sin embargo, me interesa la geometría algebraica, y los esquemas afines tienen particiones de la unidad en el sentido débil pero no en el fuerte.

(2) Cualquier gajo cuasi-coherente sobre un esquema afín no tiene cohomología de gajo superior. (Hartshorne III.3.5 en el caso noetheriano; cita EGA III.1.3.1 para el caso general). Existe un resultado similar para la gavilla de funciones analíticas: véase Teoremas de Cartan .

Tengo algunas ideas sobre cómo esto podría generalizarse a los espacios localmente anillados que no sean esquemas, pero me estoy reservando porque probablemente alguien sepa una respuesta mejor.

---

Parece que la respuesta que obtengo es "nadie conoce un criterio mejor que el de las poleas finas/blandas". Gracias por toda la ayuda. He escrito un entrada del blog explicando por qué creo que las trenzas finas no son una gran respuesta en espacios no-Hausdorff como los esquemas.

Answer 1

Esta respuesta adopta un punto de vista diferente al expresado en el cuerpo de su pregunta, pero es relevante para la pregunta del título.

Una gavilla se llama suave si cualquier sección sobre un subconjunto cerrado de $X$ se extiende a una sección sobre $X$ . Como dice el artículo enlazado de la wikipedia, en un espacio paracompacto de Hausdorff, suave implica acíclico. Los argumentos típicos de las particiones de la unidad en topología diferencial pueden interpretarse como el uso de la demostración de que los gajos de funciones suaves, las secciones suaves de los haces, etc., son suaves. (Siempre se puede extender las funciones suaves localmente desde un conjunto cerrado a una vecindad, y las particiones de la unidad permiten parchear estas extensiones). Otra forma de expresar esto es que fino implica suave .

Answer 2

Aunque está claro que todos tenemos más o menos las mismas respuestas, he aquí cómo me gusta organizar las cosas.

I) Que $\mathcal F$ sea un haz de grupos abelianos sobre el espacio topológico $X$ . Se dice que es suave si cada sección $s \in \Gamma (A,\mathcal F)$ sobre un subconjunto cerrado $A\subset X$ puede ampliarse a $X$ . Obsérvese bien que la definición de $s$ NO es que sea la restricción a $A$ de alguna sección de $\mathcal F$ en un barrio abierto de $A$ [pero que es un elemento $ s\in \prod \limits_{x\in X} \mathcal F_x$ que satisfagan algunas condiciones más o menos obvias]

II) Consideremos la siguiente condición sobre el espacio anillado [no necesariamente local] $(X, \mathcal O)$ :

El espacio $X$ es metrizable y dada una inclusión $A\subset U \subset X$ con $A$ cerrado y $U$ abierto existe una sección global $s\in \Gamma (X,\mathcal O)$ tal que $s|A=1$ y $ s|X \setminus U=0 \quad \quad (SOFT)$ .

Entonces tenemos el

$\textbf{Theorem }$ : Si el espacio anillado satisface (SOFT), entonces toda gavilla de $\mathcal O_ X -Modules$ es suave.

III) Un espacio metrizable dotado de su gajo de funciones continuas satisface $(SOFT)$ . Una variedad diferencial metrizable dotada de su haz de funciones suaves satisface $(SOFT)$ .

IV) En un espacio metrizable toda gavilla suave es acíclica

En conjunto, estos resultados dan lugar a todos los resultados de acyclicidad estándar sobre funciones, haces vectoriales, distribuciones, etc.

Es interesante notar que usas las particiones de la unidad sólo una vez: en la prueba de III). Pero nunca más después; sólo compruebas que tus gavillas son $\mathcal O -Modules$ . Me gusta más este enfoque (que aprendí de Grauert-Remmert) que el habitual, en el que se da una prueba de acyclicidad para la gavilla de funciones suaves, seguida de la afirmación (¡correcta!) de que hay que repetirla con pequeños cambios para, por ejemplo, haces vectoriales. Además, las gavillas finas ni siquiera necesitan ser mencionadas si se sigue esta ruta.

Answer 3

En cuanto al punto (2) de la pregunta, creo que la prueba de Grothendieck implica elegir a $f_i$ y $g_i$ en $A$ tal que $\sum_i f_i g_i = 1$ (en otras palabras, una cubierta de Spec $A$ por conjuntos abiertos de la forma Spec $A_{f_i}$ ), calculando la cohomología Cech-wise (lo que equivale a considerar un complejo de Koszul), y luego tomar el límite sobre todas esas coberturas y usar la secuencia espectral de secuencia espectral de cohomología de Cech a Sheaf para concluir. Así que esto es ciertamente un argumento en el espíritu de los argumentos de las particiones de la unidad.