Puntos de inflexión y diferenciación

Question

Estaba mirando una tarea para una clase de cálculo que tengo por internet, no la encontraba y busqué por internet. Encontré este respuesta a estas preguntas:

• ¿Cuál es el número mínimo de puntos de inflexión que debe existir entre (y no en ) dos puntos críticos de un polinomio no constante diferenciable?

  R: El número mínimo de puntos de inflexión es 0, porque los puntos críticos no pueden ser de la forma max-min.

• ¿Cuál es el número máximo de puntos de inflexión que pueden existir entre dos puntos críticos de una función diferenciable?

  R: Sólo uno.

Ambas respuestas eran incorrectas. La justificación de esto fue:

• La respuesta correcta es la 1 porque si se tienen dos puntos críticos significa que hay o bien 2 máximos, 2 mínimos o bien 1 máximo y 1 mínimo. En cualquiera de estos casos tiene que haber al menos 1 punto de inflexión.

  y

• La respuesta correcta es "No hay máximo" porque puede haber un número infinito de puntos de inflexión. La concavidad puede cambiar un millón de veces entre dos puntos críticos.

Además, la pregunta:

• ¿Dónde está la función $R(x) = {(x^2-9)(x^2-6x+5)\over (x-3)(x^2-2x-3)(x-1)(x^2+4)}$ ¿tiene una asíntota?

  A. Me equivoqué al responder x=1,3 en lugar de su respuesta de x=-1,3.

Si miras el gráfico muestra x=-1,1,3

Definición de Punto Crítico: Los puntos críticos son los lugares de una gráfica donde la derivada es igual a cero o es indefinida. En los puntos críticos ocurren cosas interesantes.

La pregunta que tengo es: ¿está mal la respuesta en StackExchange, está mal la respuesta en el sitio de la tarea y cómo?

Answer 1

Pensando en ello y dibujando gráficas estoy bastante seguro de que tu hoja de respuestas es correcta en cuanto a las propiedades de las funciones reales y polinómicas (tus dos primeras preguntas). No he podido demostrarlo, todavía, pero las respuestas me parecen probables.

Su última pregunta, sin embargo, puedo responderla. Las asíntotas verticales se producen en los puntos $x_0 \in \Bbb R$ tal que $\lim_{x\to x_0^\pm} f(x) = \pm \infty$ .

En una función racional, los únicos valores $x_0$ donde puede haber una asíntota vertical son valores en los que el denominador es igual a cero. En tales valores $x_0$ si el numerador es no cero entonces está garantizado que tiene una asíntota vertical. En los valores donde el numerador es también cero tendrás que evaluar el límite para determinar si la función diverge a $\pm \infty$ allí o no.

Los lugares donde el denominador de $R(x)$ es cero están en $x_0 \in \{-1,1,3\}$ .

De ellos, el único $x_0$ donde el numerador es no también el cero es $x=-1$ . Así que esto es una asíntota vertical.

Entonces, si se evalúan los límites en $x=1$ y $x=3$ Verás que $|\lim_{x\to 1} R(x)|\lt \infty$ (No me molesté en evaluar completamente el límite porque pude simplemente cancelar el $x-1$ tanto del numerador como del denominador) y $\lim_{x\to 3} R(x)= \infty$ . Así, $x=3$ es su única otra asíntota vertical.

Answer 2

(No puedo comentar todavía, así que mis más sinceras disculpas por escribir mis comentarios en relación con $R(x)$ aquí).

Para encontrar la(s) asíntota(s) vertical(es) de una función racional es mejor factorizar el numerador y el denominador y cancelar los términos comunes.

Así que, $R(x)$ se simplifica a $\frac{(x5)(x+3)}{(x3)(x+1)(x^2+4)}$ . De aquí se desprende que las asíntotas verticales son $x=1$ y $x=3$ .

Además, hay que tener en cuenta que decimos que $x=a$ es una asíntota vertical de $R(x)$ si $\lim_{x\to a^{}}R(x)=\pm\infty$ o $\lim_{x\to a^{+}}R(x)=\pm\infty$ .

Si miras $x=1$ entonces $\lim_{x\to 1}R(x)=\frac{4}{5}$ Así que $x=1$ no es una asíntota vertical.