Polinomios de permutación mod $p$ de la forma $(x+1)^n-x^n$

Question

Entre algunos polinomios de permutación He estado estudiando, $f(x)=(x+1)^n-x^n$ es uno de los polinomios que no puedo entender.

Pregunta : Para un determinado impar prime $p$ ¿Cómo podemos encontrar todo número entero positivo $n$ tal que $f(x)=(x+1)^n-x^n$ es un polinomio de permutación mod $p$ ?

La respuesta parece $n=(p-1)m+2\ \ (m=0,1,2,\cdots)$ pero tengo dificultades para demostrarlo. Esta pregunta se ha formulado anteriormente en matemáticas.SE sin recibir ninguna respuesta.

Los siguientes son los que tengo.

• $f(0)\equiv 1.$

• $f(p-1)\equiv -(-1)^n\Rightarrow \text{$ n $ has to be even}\Rightarrow f(p-1)\equiv p-1$ .

• Para $n=(p-1)m+r$ , $f(x)\equiv (x+1)^r-x^r$ porque $a^{p-1}\equiv 1$ para $a$ que es coprima de $p$ .

• $f\left(\frac{p-1}{2}\right)\equiv 0$ .

• $f\left(\frac{p-1}{2}+a\right)+f\left(\frac{p-1}{2}-a\right)\equiv 0$ para cualquier $a$ .

Me gustaría conocer también cualquier referencia relevante.

Answer 1

La respuesta esperada es correcta, es un teorema de Norman Johnson, ver aquí. Tenga en cuenta que $(X+1)^n-X^n$ es un polinomio de permutación si y sólo si $(X+a)^n-X^n$ es un polinomio de permutación para cada uno de los valores fijos no nulos $a$ . Esta última condición es un caso especial de planaridad: Una función $f:K\to K$ en un campo $K$ se llama planar, si $x\mapsto f(x+a)-f(x)$ es biyectiva para todo lo que no es cero $a$ .

Así que pide monomios planares en $\mathbb F_p$ para los primos Impares $p$ . En realidad, más tarde se demostró que cualquier función planar sobre $\mathbb F_p$ viene dada por un polinomio cuadrático, véase esta página de MO para más información y referencias.