¿Cómo debe pensar un teórico de la homotopía en la cohomología de gavillas?

Question

Como estudiante de la teoría de la homotopía o de la topología algebraica, tengo un cierto punto de vista sobre cómo se debe pensar en una teoría de la cohomología. Hay axiomas que nos ayudan con cálculos rudimentarios, hay algunas secuencias espectrales y luego está la representabilidad de Brown. Esto está muy lejos del punto de partida de mirar el complejo singular de (co)cadena o un complejo simplicial y tratar de calcular su homología, parece un poco más refinado. Incluso la estructura de anillo es un poco más clara, viene del hecho de que estamos mapeando en un objeto de anillo.

Cada vez hay más casos en los que siento que me beneficiaría entender un poco más de la cohomología de gavillas que simplemente "es el functor derivado del functor de secciones globales de una gavilla". Esto es un poco útil, pero no ayuda demasiado con los cálculos desde mi punto de vista. Parece que las resoluciones de gavillas son objetos grandes y difíciles, sobre todo porque las gavillas contienen muchos datos.

Mi pregunta es esencialmente la siguiente:

1. ¿Hay teóricos de la homotopía que hayan superado estos sentimientos? ¿Qué consejos tienen? De hecho, cualquier consejo que pueda tener alguien que entienda los usos de la teoría de gavillas en la teoría de la homotopía sería útil.

2. ¿Existen cosas que se parezcan a los axiomas de Eilenberg-Steenrod para la cohomología de gavillas? no directamente por su teorema de clasificación, sino cosas que te ayuden a calcular la cohomología de gavillas como una secuencia MVS o lo que sea. Me gustaría sobre todo que me ayudaran a hacer cálculos de la forma en que lo hacen los axiomas E-S así que cosas como el Teorema de Grothendieck-Riemann-Roch, que me han dicho que se puede utilizar de esa forma.

3. ¿Existe algún libro que recorra los cálculos explícitos de juguete de la cohomología de gavillas? ¿Hay ejemplos de juguete que sugerirías para llegar a sentirse más cómodo con estas cosas? ¿Hay ejemplos que vivan en espacios más simples que los esquemas? éstos podrían ayudar un poco más que otros

Algunos añadidos : Creo que debo hacer algunos comentarios. No estoy muy versado en geometría algebraica. Creo que esto es un defecto mío y esto es un intento de ayudar a cerrar la brecha. Se agradecen las sugerencias de referencias. ¡Realmente aprecio todas las excelentes respuestas hasta ahora! gracias por su tiempo

EDITAR LA PREGUNTA PRINCIPAL: Creo que lo que realmente estoy preguntando es el formalismo de los seis funtores, pero no lo sé realmente ya que no sé lo que es. Un amigo empezó a explicármelo y me pareció que era lo que buscaba, pero me dijo que no se sentía seguro para escribir una respuesta explicándolos. Esperemos que alguien vea esta edición y dé una respuesta divertida.

Answer 1

Hola Sean,

Creo que un gran lugar para habitar, ya sea para los cálculos o para la comprensión conceptual, es la categoría derivada de gavillas (de grupos abelianos digamos) $D(X)$ en su espacio topológico $X$ . Aquí están los jugadores básicos:

1. Para cualquier $X$ y enteros $i$ , funtores $H^i: D(X) \rightarrow$ las láminas de grupos abelianos sobre X (láminas de cohomología); y

2. Para un mapa $f: X \rightarrow Y$ , mapas adjuntos $f^* :D(Y) \rightarrow D(X)$ y $f_* :D(X) \rightarrow D(Y)$ (pullback y pushforward derivados).

Entonces, por ejemplo, el $i^{th}$ cohomología de una gavilla es simplemente $H^i p_*$ , donde $p: X \rightarrow pt$ .

Muchas de sus herramientas informáticas favoritas se trasladan a este entorno. Por ejemplo, Meyer-Vietoris: si $X = U_1 \cup U_2$ con inclusiones $j_1: U_1 \rightarrow X$ y $j_2: U_2 \rightarrow X$ y $j_{12}: U_1 \cap U_2 \rightarrow X$ y $F$ es una gavilla en $X$ entonces hay un triángulo distinguido

$${j_{12}}_* j_{12}^* F \rightarrow {j_1}_* j_1^* F \oplus {j_2}_* j_2^* F \rightarrow F \rightarrow$$

(el M-V habitual se obtiene tomando F constante y aplicando $p_*$ ).

¿Qué es una referencia? Aprendí de BBD (Faisceaux Pervers, Asterisque 100), que es genial, pero tal vez más esquema de lo que quieres.

P.D.: Ya que eres un teórico de la homotopía, tal vez mencione lo que creo que es una gran perspectiva de lo que es la categoría derivada D(X). Básicamente es como la categoría ordinaria de gavillas de grupos abelianos, excepto que lo haces todo homotópicamente. Así que en lugar de grupos abelianos tomas (perdón) espectros de módulos HZ, y haces que tus gavillas satisfagan la descendencia homotópica (esta descendencia homotópica es realmente el origen de cosas como M-V arriba). Para hacer rigurosa esta perspectiva es útil utilizar la teoría de la categoría infinita, como en el libro de Lurie Higher Topos Theory. Usando este enfoque, uno no "deriva" cosas en el sentido de empezar con una situación abeliana e invocar categorías y funtores derivados; más bien uno hace definiciones "derivadas", y entonces todas las operaciones naturales son automáticamente "derivadas": por ejemplo, las derivadas f_* y f^* pueden ser dadas, en el entorno infinito-categórico, por las mismas fórmulas que las ordinarias f_* y f^* en el entorno clásico (abeliano).

Answer 2

He aquí algunos comentarios sobre las preguntas.

1. Las gavillas pueden parecer muy grandes, pero no lo son. Hay una gran clase de gavillas, las gavillas construibles, que son objetos combinatorios. Así es como se puede pensar en ellas. Imagina un poliedro; asocia un grupo abeliano $A(\triangle)$ a cada cara $\triangle$ y a un morfismo de grupos $A(\triangle_1)\to A(\triangle_2)$ siempre que $\triangle_2$ es una cara de codimensión 1 de $\triangle_1$ ; suponiendo que las dos formas posibles de llegar desde un $n$ -cara a cara $n-2$ cara coinciden. Entonces se puede introducir un diferencial de cochainas por la fórmula habitual. La mayoría de las láminas que surgen en los problemas topológicos de la vida real surgen de esta manera. Por ejemplo, si todos los mapeos de restricción son isomorfismos, obtenemos un sistema local.

2. El producto copa en cohomología es muy natural también desde la perspectiva de la teoría de gavillas. Tenemos $H^i(X,A)=Hom_{D^+X}(\underline{A},\underline{A}[i])$ donde $A$ es un anillo conmutativo, $\underline{A}$ es una gavilla constante en $X$ con tallo $A$ y $\underline{A}[i]$ es $\underline{A}$ desplazado $i$ pasos a la izquierda. Como el desplazamiento da un isomorfismo de la categoría derivada, tenemos $Hom_{D^+X}(\underline{A},\underline{A}[j])=Hom_{D^+X}(\underline{A}[i],\underline{A}[i+j])$ y así obtenemos un mapa bilineal $$Hom_{D^+X}(\underline{A},\underline{A}[i])\times Hom_{D^+X}(\underline{A},\underline{A}[j])\to Hom_{D^+X}(\underline{A},\underline{A}[i+j])$$ que es esencialmente la composición de morfismos en la categoría derivada. Esto da el producto de copa.

Ahora, para responder a sus preguntas

1. (Hay teóricos de la homotopía...) Probablemente.

2. No conozco una versión de los axiomas de Eilenberg-Steenrod para las láminas, pero es una buena pregunta. Una forma de plantearla con más precisión sería: dar un criterio para un functor cohomológico sobre $D^+X$ para ser representado por la gavilla constante. En cualquier caso, se puede utilizar Mayer-Vietoris (al menos para una cubierta abierta o una cubierta cerrada de un espacio razonable) para calcular la cohomología de la gavilla. Además, la secuencia exacta larga para $i:X\subset Y$ un subconjunto cerrado proviene del triángulo distinguido $j_! j^{-1}\to id\to i_\ast i^{-1}\to\cdots$ donde $j:Y\setminus X\subset Y$ es la incrustación abierta del complemento.

3. Para una visión general sobre las láminas y cosas relacionadas, recomendaría dos libros de Gelfand y Manin. Uno es Methods of homological algebra y el otro se llama simplemente Homological algebra (un estudio en la Encyclopedia of math sciences de Springer). Estos libros son excelentes, pero una advertencia: hay algunas erratas, faltan condiciones en algunos teoremas, etc.

Answer 3

Esto es sobre todo una respuesta a la 3:

Aunque yo utilizo sobre todo las láminas que surgen en topología (y dado que tu pregunta implica explícitamente la teoría de la homotopía, ése podría ser también tu punto de vista), creo que es una herramienta de aprendizaje útil leer un poco sobre cómo surgen y se utilizan las láminas en el análisis complejo y la teoría de Hodge. La gran ventaja es que la mayoría de las láminas ya son bonitas (finas, suaves,...), así que uno puede hacer mucho sin tener que tomar resoluciones por láminas sobre las que tiene menos control. El libro de Wells Differential Analysis on Complex Manifolds podría ser un buen punto de partida, o incluso el libro de Voisin sobre la teoría de Hodge (que es más avanzado).

En el mundo topológico, apoyo a Bredon y Gelfand/Manin (la segunda edición de Methods of Homological Algebra está en mejor forma que la primera en cuanto a erratas). También Dimca tiene un libro Sheaves in Topology, que es una buena introducción al punto de vista de las categorías derivadas que incluye algunos ejemplos y ejercicios útiles.

Una última nota: al realizar cálculos reales, las secuencias exactas procedentes de los triángulos de adyacencia (véase, por ejemplo, la sección 2.4 de Dimca) suelen ser tus mejores amigos :-)