Demuestre que si sup( $a_n$ ) = $\infty \Rightarrow$ $(a_n)_k \to \infty$

Question

Así que he buscado y rebuscado algún recurso que pueda arrojar algo de luz sobre esta situación que realmente pueda entender, pero estoy seguro de que hay algo que me he perdido. Llevo horas con esta pregunta:

Demuestre que si sup( $a_n$ ) = $\infty \Rightarrow$ $\exists b_k = a_{n_k} \to \infty$

Así que dado $sup(a_n) = \infty $ entonces sabemos que $a_n$ no tiene límite superior.

A continuación tomamos alguna subsecuencia de $a_n$ como por ejemplo $b_k = a_{n_k}$

A continuación sabemos lo siguiente (Estoy bastante seguro de que necesito conseguir algo como esto, pero estoy dudoso en mi lógica de conseguir lo siguiente)

$$a_{n_1} > n_1; a_{n_2} > n_2; \dots; a_{n_k} > n_k$$ $$\therefore b_k = a_{n_k} > k => b_k > k$$

Por último, demostramos que $b_k \to \infty$ un poco inseguro en esta lógica ahora a y estoy bastante seguro de que esto no es del todo correcto.

$$b_k > k => k \to \infty, b_k \to \infty$$

Sólo algunos comentarios. Sé que es muy probable que la prueba sea errónea, especialmente en los puntos en los que digo $a_{n_1} > n_1$ (Estoy seguro de que me falta alguna afirmación para que esto sea cierto)

y cuando estoy probando $b_k \to \infty$ (No seguir la def de un límite)

Pero esto es lo mejor que se me ocurre.

Answer 1

Queremos demostrar que existe una subsecuencia $a_{n_k} \to +\infty$ . Podemos hacerlo fácilmente. Tenga en cuenta que $\sup_n a_n > 1$ . Por lo tanto, existe $n_1$ tal que $a_{n_1} > 1$ . Supongamos que $a_{n_k} > k$ para cada $k \leq N$ . Entonces, como $\sup_{n > n_N} a_n > N+ 1$ tenemos que hay algún $n_{N+1} > n_N$ para lo cual $a_{n_{N+1}} > N$ . Así, de esta manera, construimos inductivamente una secuencia $a_{n_{k}} > k$ para todos $k$ , de tal manera que $n_1 < n_2 < n_3 < \cdots$ . Por lo tanto, $a_{n_k}$ es una sucesión y $\liminf_k a_{n_k} \geq +\infty$ Así que $a_{n_k} \to +\infty$ .

Answer 2

Su enfoque me parece correcto.

0) $\sup a_n=\infty$ : No hay límite superior $L \in \mathbb{R}$ , $L >0$ para $a_n$ .

Hay que demostrar que hay una subsecuencia $a_{n_k} \rightarrow \infty$ .

1) $a_n$ no está acotado por encima:

Por cada $k \in \mathbb{N}$ hay un índice $n_{k}$ s.t.

$a_{n_k} >k$ .

Lo demostramos:

La subsecuencia $a_{n_k}$ converge a $\infty$ ;

A) Para cada $L \in \mathbb{R}$ , $L >0$ existe, por el principio de Arquímedes, un

$k_0 \in \mathbb{Z^+}$ , s.t. $k_0 >L$ .

B) Para $k \ge k_0$ : $n_{k} \ge n_{k_0}$ y

$a_{n_k} \gt k_0> L$ y hemos terminado.

Answer 3

Creo que es trivial, pero para probarlo ;

$\sup{a_n}=\infty$ significa $(\not\exists M)\ a_n<M$ . Esto implica $(\forall\epsilon,\exists n)\ a_n>\epsilon$ por lo que podemos escribir $$\limsup_{n\to\infty}a_n=\infty$$

ahora la prueba está completa.