En primer lugar, abordaré la parte de la pregunta relativa a la teoría de las cuerdas.
La teoría de cuerdas proporciona ejemplos de sistemas físicos que admiten varias descripciones que proporcionan puentes naturales entre las singularidades kleinianas (y, por tanto, los sólidos platónicos), los espacios ALE, los diagramas de carcaj, los diagramas ADE y las teorías de campos conformes bidimensionales.
La escena viene dada por compactificaciones de la teoría de cuerdas en orbifolds kleinianos $M_\Gamma=\mathbb{C}^2/\Gamma$ donde $\Gamma$ es un subgrupo discreto de $SU(2)$ . El espacio $M_\Gamma$ admite un Singularidad kleiniana en el origen. Después de estudiar este sistema físico, uno se sorprende menos al ver que las singularidades kleinianas, los diagramas de carcaj, los espacios ALE, los diagramas ADE y las teorías de campo conformes bidimensionales admiten las mismas clasificaciones ADE, ya que proporcionan diferentes descripciones del mismo sistema físico subyacente.
Michael Douglas y Gregory Moore han estudiado la compactificación de la teoría de cuerdas en el orbifold kleiniano $M_\Gamma$ utilizando las D-branas como sondas de la geometría. Las D-branas son objetos extendidos en los que pueden terminar las cuerdas. Las D-branas proporcionan una descripción física de la geometría en términos de teorías gauge supersimétricas . Tales teorías gauge supersimétricas se resumen eficientemente en un diagrama de carcaj con una interpretación física muy natural: los nodos corresponden a D-branas con grupos gauge específicos en ellas y los enlaces entre los nodos son cuerdas abiertas que terminan en las branas.
Las configuraciones de energía mínima (las vacuas) de estas teorías gauge supersimétricas se obtienen encontrando los extremos de un potencial cuya construcción es equivalente al cociente de hiperkhäler construcción de Espacios asintóticos localmente euclidianos (espacios ALE) obtenidos por primera vez por Kronheimer. Los espacios ALE son variedades reales cuatridimensionales de HyperKähler cuyas métricas anti-self-dual son asintóticas a un orbifold kleiniano $M_\Gamma=\mathbb{C}^4/ \Gamma$ . Espacios ALE descritos físicamente instantones gravitacionales . Los espacios ALE proporcionan pequeñas resoluciones de las singularidades kleinianas en las que el punto singular se sustituye por un sistema de esferas cuya matriz de intersección es equivalente a la matriz de Cartan de un Diagrama ADE Dynkin . También se pueden considerar los instantones de Yang-Mills en dichos espacios. El grupo gauge asociado a los instantones de Yang-Mills viene dado por el tipo de diagrama ADE obtenido por la resolución de la singularidad. Esto fue analizado en la literatura matemática por Kronheimer y Nakajima. Físicamente el espacio de moduli de los instantones ALE es equivalente a la vacua de la descripción de la teoría gauge de las D-branas localizadas en las singularidades.
El vínculo entre las D-branas en espacios ALE (o equivalentemente singularidades kleinianas) y la clasificación ADE de Teorías de campo conformes bidimensionales (CFT) fue estudiado por Lershe, Lutken y Schweigert. Aunque la geometría es singular, la descripción de la CFT es suave. La CFT bidimensional procede directamente de la descripción de la cuerda: cuando una cuerda evoluciona, describe una superficie bidimensional llamada hoja del mundo de la cuerda. Las D-branas entran en la CFT como estados límite. En la descripción de la CFT, se recupera Lista ADE de Arnold de singularidades simples aisladas .
Actualizaciones
Me gustaría comentar la parte de la pregunta que no es de cuerda. Esto está motivado por los comentarios de Victor Protsak.
Si se elimina toda la interpretación de la teoría de cuerdas en la discusión anterior. Lo que queda es la descripción de Kronheimer de los espacios ALE. La construcción de Kronheimer proporciona una hermosa realización de la correspondencia de McKay entre las singularidades kleinianas, sus resoluciones crepantes y los diagramas ADE. Esto se revisa en el capítulo 7 del libro de Dominic Joyce "Compact Manifolds with Special Holonomy". Desde esa perspectiva, la descripción de la teoría de cuerdas proporciona una interpretación física de la construcción de Kronheimer y añade un vínculo natural con los diagramas de carcaj y las teorías de campo conformes de 2 dimensiones.
