Dejar $f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}$ definirse como $f=\begin{cases}1, x=0 \\ x, x\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q} \\ \frac{1}{q}, x=\frac{p}{q}, gcd(p,q)=1 \end{cases}$
$(1)$ Creo que esta función es continua en los irracionales, pero discontinua en los racionales.
intentar :
para demostrar que es discontinua en los racionales, considere una secuencia $(x_n)$ de irracionales que convergen a $0$ con $(x_n)=(\frac{\pi}{n})$ tenemos como $n \rightarrow \infty$ , $x_n\rightarrow 0$ pero $f(x_n)={x}$ ya que cada término de la secuencia es irracional, y $f(x_n)\rightarrow 0$ pero en $x=0$ $f(0)=1$ por lo que la función no es continua allí.
Para otros números racionales, cambio a un $\epsilon$ - $\delta$ argumento:
suponer que $f$ era continua en $x=\frac{p}{q}$ , entonces por definición de continuidad, $|f(x)-f(y)|<\epsilon$ cuando $|x-y|<\delta$ Ahora elija $\epsilon < \frac{1}{q}$ , lo que implica ahora $|f(x)-\frac{1}{q}|<\frac{1}{q}$ siempre que $|x-y|<\delta$ pero como los irracionales son densos, podemos encontrar un irracional $y$ dentro de un $\delta$ -bola de $x$ es decir $y\in (x-\delta,y+\delta)$ , denote esto como $y'$ y $f(y')=x$ Así que $|x-\frac{1}{q}|<\frac{1}{q}$
Aquí es donde me quedo atascado, no sé por dónde seguir. Estoy bastante seguro de que tengo que cambiar mi $\epsilon$ pero no veo qué debo cambiar para que la prueba funcione.
$(2)$
Para mostrar $f$ es continua en los irracionales, podemos argumentar por la propiedad arquimediana que $\exists n\in \mathbb{N}$ con $\frac{1}{\epsilon}<n$ y ahora podemos arreglar un $\delta$ como sigue definir $\delta=min_{\{i=1,...,n\}}\delta_{i}$ , claramente $\delta>0$ y si $x$ es irracional, tenemos $|f(x)-f(x)|=0$ por lo que se establece la continuidad en los irracionales.
