Definamos el n-ésimo grupo de homotopía lisa de una variedad lisa $M$ para ser el grupo $\pi_n^\infty(S^k)$ de mapas suaves $S^n \to S^k$ módulo de homotopía suave. Por supuesto, hay que tener cierto cuidado al definir el producto, pero no creo que sea un problema grave. La clave es construir un mapa suave $S^n \to S^n \lor S^n$ (considerados como subespacios de $\mathbb{R}^{n+1}$ ) que colapsa el ecuador a un punto; entonces definimos el producto de dos mapas (puntuales) $f, g: S^n \to S^k$ para ser el mapa $S^n \lor S^n \to S^k$ que restringe a $f$ en la mitad izquierda y $g$ en la mitad derecha. Para lograrlo, utilice las funciones de protuberancia para doblar $S^n$ en una forma suave de "mancuerna" que consiste en un cilindro $S^{n-1} \times [0,1]$ con dos grandes orbes unidos a los extremos, y se retraen $S^{n-1}$ hasta un punto conservando la suavidad en los extremos. A continuación, retraiga $[0,1]$ hasta un punto, y ya está.
Pregunta: ¿es el homomorfismo natural "olvidar la suavidad" $\phi: \pi_n^\infty(S^k) \to \pi_n(S^k)$ ¿un isomorfismo? Si no es así, ¿qué se sabe sobre $\pi_n^\infty(S^k)$ ¿y qué herramientas se utilizan?
En el capítulo 6 de "From Calculus to Cohomology", Madsen y Tornehave demuestran que todo mapa continuo entre subconjuntos abiertos de espacios euclidianos es homotópico a un mapa suave. Así, todo mapa continuo $f$ entre variedades suaves es "localmente suave hasta la homotopía", lo que significa que cada punto del origen tiene una vecindad $U$ tal que $f|_U$ es homotópico a un mapa suave. Sin embargo, no me queda claro que las homotopías locales puedan ser elegidas de tal manera que se peguen para formar una homotopía global entre $f$ y un mapa suave. Esto sugiere que $\phi$ no tiene por qué ser sobreyectiva.
En la misma referencia anterior, se demuestra que dados dos mapas suaves entre subconjuntos abiertos de espacios euclidianos que son continuamente homotópicos, existe una homotopía suave entre ellos. Como en el caso anterior, esto dice que dos mapas suaves y continuamente homotópicos entre variedades suaves son localmente homotópicos suaves, pero no veo ninguna razón por la que las homotopías suaves locales deban necesariamente unirse para formar una homotopía suave global. Esto sugiere que $\phi$ no necesita ser inyectiva.
Ciertamente no soy un experto en teoría de la homotopía, pero he leído lo suficiente como para sorprenderme de que este tipo de preguntas no parezcan tratarse habitualmente en la literatura básica. Esto me hace temer que mi pregunta sea fatalmente defectuosa, trivial, inútil o desesperada. Aun así, conservo alguna esperanza de que se pueda decir algo interesante.
