Encontrar constantes reales $c$ y $k$ tal que $y=cx^k$ pasa por el punto $(a, b)$ con pendiente $m$

Question

En el plano cartesiano, ¿puede una función de potencia de la forma $y=cx^k$ (donde $c>0$ y $k>1$ , no necesariamente un número entero) se encuentre tal que su gráfica pase por cualquier punto arbitrario $(a, b)$ con pendiente arbitraria $m$ ? [Supongamos que $a>0$ , $b>0$ y $m>(b/a)$ .] Si es así, ¿cómo puede $c$ y $k$ calcularse en términos de $a$ , $b$ y $m$ ?

Obsérvese que esta técnica podría utilizarse para generar un tipo de curva spline que sea tangente a cada lado de un ángulo obtuso, como el formado por la intersección de las líneas $y=y_0$ y $y=mx$ (donde $y_0>0$ y $m>0$ ).

Answer 1

Las ecuaciones que se obtienen son

$$b=ca^k$$ $$m=cka^{k^-1}$$ dividiendo la primera ecuación entre la segunda se obtiene $$\frac{b}{m}=\frac{a}{k}$$ que se puede resolver para $k$ y entonces se puede resolver para c.

Answer 2

Dejemos que $f(x)=cx^k$ . Entonces 1) $f(a)=b$ y 2) $f'(a)=m$