Demuestre que el espectro de puntos es no vacío.

Question

Déjalo, $H$ sea un espacio de Hilbert complejo no nulo. $U: H \rightarrow H$ sea un operador lineal compacto autoadjunto en $H$ . Demuestra que el espectro de puntos contiene al menos un punto.

Lo que sé hasta ahora,

Dejemos que $ s = \underset{\Vert x \Vert = 1}{\inf}\langle Ux, x \rangle$ y $S = \underset{\Vert x \Vert = 1}{\sup}\langle Ux, x \rangle$ . Entonces tenemos que el espectro es un subconjunto propio de $[s, S]$ . Además, $s,S \in \sigma(U)$ .

No estoy seguro de cómo proceder con esta información. Creo que se puede demostrar que $s$ o $S$ está en $\sigma_p(U)$ .

Por favor, ayúdenme. Gracias.

Answer 1

Esto depende un poco de la información de fondo de que disponga. Esta es una vía posible:

• El espectro no es vacío.
• Si $\sigma(U)=\{0\}$ entonces $s=S=0$ esto le da $\langle Ux,x\rangle=0$ para todos $x$ que obliga a $U=0$ . Entonces $0$ está en el espectro de puntos.
• En caso contrario, existe $\lambda\in\sigma(U)\setminus \{0\}$ .
• Una muestra que $U-\lambda I$ tiene el rango cerrado.
• Entonces se demuestra que $\ker(U-\lambda I)$ no es trivial.

Los argumentos que conozco para demostrar los dos últimos pasos no son súper complicados, pero tampoco son triviales.