Dejemos que $G$ un grupo, con ... Demuestre que $G$ es un grupo cíclico.

Question

Dejemos que $G$ sea un grupo con $|G|=455$ . Demostrar que $G$ es un grupo cíclico.

Answer 1

Es bien sabido que si $n$ es un número natural, sólo hay un grupo de orden n si y sólo si $\gcd(n,\varphi(n))=1$ . Aquí $\varphi$ es la función totiente de Euler. Para $n=455$ esto se aplica. Si sólo hay un grupo de un orden determinado, debe ser necesariamente cíclico.

Answer 2

Pistas para que lo pruebes. Deje que $\,G\,$ sea un grupo de orden $\,455=5\cdot 7\cdot 13\,$ entonces:

1) Existe un único Sylow $\,7-\,$ subgrupo $\,P_7\,$ y un solo Sylow $\,13-\,$ subgrupo $\,P_{13}\,$ que luego son normales;

2) Existe una normalidad cíclico subgrupo $\,Q\,$ de orden $\,91\,$

3) Si $\,P_5\,$ es cualquier Sylow $\,5-\,$ subgrupo, entonces podemos formar el producto semidirecto $\,Q\ltimes P_5\,$

4) Como único homomorfismo posible de un grupo de orden $\,91\,$ a un grupo de orden $\,4\,$ es el trivial, el producto semidirecto anterior es directo .

Answer 3

Aviso $455 = 13*7*5$ y sabemos $13$ , $7$ y $5$ son primos. Ahora utiliza el teorema de Lagrange para demostrar que G es cíclico. Esto es una pista.