Una revisión de 2008 sobre el gravitomagnetismo está disponible en este PDF pero básicamente estás haciendo una pregunta sobre la historia y eso es más difícil de responder.
Así que no fue hasta la década de 1830 que tuvimos una unificación preliminar que empezaba a desarrollarse, entre la electricidad y el magnetismo. Tuvo que pasar otra generación para que James Clerk Maxwell observara en la década de 1860 que las leyes, tal y como las tenía, sólo eran coherentes si la carga no se acumulaba en ningún punto, pero que si consideraba que todo el espacio estaba formado por pequeños vórtices electromagnéticos, entraría otro término en las ecuaciones -lo que ahora llamamos "corriente de desplazamiento"- y, como resultado, estos vórtices podrían transportar ondas que viajarían a la velocidad de la luz. Incluso entonces tuvo que pasar otra generación, la de 1890, antes de que tuviéramos la invención de Lorentz del "tiempo local" y las tensiones basadas en el éter que se estaban gestando entre la teoría de Newton y la de Maxwell. Hay quien ha dicho que la principal virtud de la revolución científica es que la vieja generación de científicos se extingue, lo que permite a las nuevas generaciones tener ideas nuevas y radicales: la cronología del electromagnetismo ciertamente apoya esta idea.
Es difícil creer que nadie tuviera la idea del gravitomagnetismo antes de Einstein. Por ejemplo, JJ Thompson Investigaciones recientes sobre electricidad y magnetismo comienza con una discusión sobre cómo los "tubos de Faraday" (los llamaríamos líneas de campo eléctrico ahora) son fundamentales para entender la electricidad y el magnetismo, y que el magnetismo nos da de hecho una idea fundamental de que podría haber un tubo de Faraday que no empieza ni termina en una carga, sino que da vueltas sobre sí mismo, sin tener ni principio ni fin. A continuación, observa inmediatamente que existe una conexión entre los tubos de Faraday y la teoría de la gravitación de Le Sage (que consiste en que tal vez el espacio está lleno de partículas que vuelan en todas las direcciones diferentes y tal vez la materia absorbe un poco de ellas, de modo que cualquier masa dada proyecta una sombra de estas partículas en todas las direcciones, lo que conduce a una atracción $1/r^2$ fuerza entre dos masas cuando se encuentran a la sombra de la otra). Tal vez no sea un salto tremendo imaginar que tal vez existan tubos de Faraday gravitacionales análogos y que tal vez algunos de ellos no terminen en las masas, sino que se limiten a hacer un bucle. Pero si Thomson hizo este salto, no lo sé; probablemente habría objetado inmediatamente que las direcciones de las fuerzas son opuestas (lo que es semejante atrae a lo que es semejante en el caso de la gravitación, y lo que es semejante repele en el caso del electromagnetismo) impidiendo la analogía mecánica que Faraday perseguía.
Así que los primeros indicios que puedo encontrar del gravitomagnetismo están quizás en el artículo de Einstein de 1912 (¡cuatro años antes de la relatividad general!) "Sobre la teoría del campo gravitatorio estático, y nota añadida en la prueba" que a su vez era un artículo de corrección de otro artículo (basta con retroceder varias páginas) publicado también en 1912, que a su vez era una respuesta a un tercer artículo de 1912 de Max Abraham, con algo de historia en un artículo en arXiv . Pero incluso aquí no veo una predicción de las ondas gravitacionales clásicas. Einstein sólo piensa que la luz podría moverse más lentamente en un campo gravitatorio, porque está persiguiendo esta idea de que la gravitación debería ser lo mismo que estar en un campo uniformemente acelerado.
Me sorprende que no haya ido más allá inmediatamente; seguramente debería querer una teoría de la gravitación covariante de Lorentz más la observación de que la ley de Coulomb se parecía a la ley de Newton al tener un $1/r^2$ ley de la fuerza correspondiente a un $\operatorname {div} E \propto \rho$ ecuación. Si se quiere hacer esto relativista entonces hay que considerar que las masas en movimiento deben generar un "campo magnético" y que juntos estos dos deben tener una teoría de ondas subyacente.
Justo después del artículo anterior se encuentra, por supuesto, la relatividad general y luego, más explícitamente, el Documentos de Lense-Thirring (advertencia de pago) que aparentemente trató el gravitomagnetismo con mayor seriedad. La razón por la que el gravitomagnetismo no es una teoría definitiva y hay que "graduarse" a la relatividad general eventualmente, tiene que ver con el hecho de que su fuente (que en el electromagnetismo es el 4-vector $(\rho, \mathbf J/c)$ ) ya no es covariante de Lorentz cuando se escriben estas ecuaciones.
Pero sí, la razón básica por la que la gravedad newtoniana clásica no predice las ondas es porque antes de Einstein no puedo encontrar ningún trabajo en el que se predijera que habría un análogo magnético a la teoría "puramente eléctrica" de la gravitación newtoniana. Si se formula tal teoría y luego se conectan los campos eléctricos y magnéticos como lo hizo Maxwell, para obtener campos gravitacionales que se propagan a velocidad $c$ y las ondas gravitacionales cuando esos campos gravitacionales oscilan adecuadamente: entonces tienes tu predicción. Pero hasta donde yo sé, nadie ha tenido el campo electromagnético modelo para llevar a cabo esta intrigante unificación hasta que Maxwell dedujo que la luz era sólo ondas electromagnéticas: y parece que antes del desarrollo incluso de la relatividad especial la gente era más propensa a decir "Newton tiene razón, Maxwell está equivocado" que a decir "Hm, tal vez podamos robar estas ideas de Maxwell para decir algo interesante sobre Newton, también". Pero con la relatividad especial, la mano de Einstein estaba como forzado En el caso de la teoría de la relatividad especial, el autor se comprometía muy fuertemente a que "Maxwell tiene más razón de la que podría tener" y esto significaba que la idea de Newton de la fuerza gravitacional instantánea a distancia ya no podía sostenerse, ya que una vez que se tiene la relatividad especial, las fuerzas instantáneas (si se pueden elegir varios marcos de referencia diferentes para que las diferentes fuerzas sean instantáneas) pueden transmitir información hacia atrás en el tiempo.
