Inflación $I:(V/U)^* \to V^*$

Question

Para un espacio vectorial (finito) $V$ y el subespacio $U \subset V$ , mi hoja de ejercicios define una función llamada Inflación con $$I: (V/U)^* \to V^*$$ tal que $$(Ig)(v) = g(v + U) ~~\forall v\in V \text{and}g\in(V/U)^*.$$

Estoy confundido porque $g(v + U) \in V$ ? Queremos $I(g) \in V^*$ lo que significa $I(g): V \to V$ pero $$g(v + U) \notin V$$ sino que $$g(v + U) \in (V/U).$$ desde $g: (V/U) \to (V/U)$ .
Esto parece contradictorio. ¿Qué me falta?

Answer 1

Queremos $I(g) \in V^*$ lo que significa $I(g): V \to V$

No, la definición de $V^*$ es el espacio de los mapas lineales de $V$ al campo subyacente: $V\to \mathbb F$ .

Answer 2

El mapa $I$ que desea definir tiene dominio $(V/U)^*$ y codominio $V^*$ .

Se quiere definir su acción sobre $g\in (V/U)^*$ (así $g$ es una forma lineal en $V/U$ ) : $Ig$ debe ser una forma lineal en $V$ y por lo tanto hay que definir su acción sobre cada elemento de $V$ . La elección natural es $$ Ig\colon v\mapsto g(v+U) $$ porque sabes que $g(v+U)\in F$ (donde $F$ es el campo de los escalares).

Ahora tienes que demostrarlo:

1. por cada $g\in (V/U)^*$ , $Ig\in V^*$ (es decir, es un mapa lineal $Ig\colon V\to F$ );

2. $I$ es lineal.

Ambas afirmaciones son fáciles de verificar.

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Hay una manera diferente de ver esto. Dejemos que $T\colon V\to W$ sea un mapa lineal. Entonces podemos definir $T^*\colon W^*\to V^*$ definiendo, para $g\in W^*$ , $$ T^*g\colon v\mapsto g(Tv) $$ En otras palabras, $T^*g=g\circ T$ (composición del mapa), lo que le ahorra verificar el punto 1 anterior.

El caso particular de la inflación es cuando se considera $T\colon V\to V/U$ la proyección canónica.