¿Qué son exactamente los armónicos y cómo "aparecen"?

Question

Después de leer muchas fuentes en Internet, todavía no puedo entender por qué las diferentes formas de onda tienen armónicos.

Por ejemplo: cuando se diseña un circuito tonto de modulación de amplitud (AM) que pone una onda cuadrada de un microcontrolador en una antena, ¿cómo se generan los armónicos? La señal sólo está "encendida" o "apagada", ¿cómo hay primeros, terceros y quintos armónicos y por qué se debilitan?

He oído que el hecho de que los osciloscopios sean capaces de medir hasta el quinto armónico de una onda cuadrada (o algo similar) es importante, pero ¿por qué haría eso que la lectura fuera diferente? ¿Son estos armónicos irrelevantes en cosas como la transferencia de datos (alto=1, bajo=0) y sólo importan en situaciones como el audio o la RF?

¿Por qué las ondas sinusoidales no tienen tantos armónicos? ¿Porque la forma de onda está siempre en movimiento y no es plana subiendo (triángulo) u horizontal (cuadrado), sino circular con un valor siempre cambiante?

Answer 1

Las ondas sinusoidales no tienen armónicos porque son exactamente ondas sinusoidales que combinadas pueden construir otras formas de onda. La onda fundamental es un seno, por lo que no es necesario añadir nada para convertirla en una señal sinusoidal.

Sobre el osciloscopio. Muchas señales tienen un gran número de armónicos, algunos, como una onda cuadrada, en teoría infinitos.

Esta es una construcción parcial de una onda cuadrada. El seno azul que muestra 1 período es la fundamental. Luego está el tercer armónico (las ondas cuadradas no tienen armónicos pares), el morado. Su amplitud es 1/3 de la fundamental, y puedes ver que es tres veces la frecuencia de la fundamental, porque muestra 3 periodos. Lo mismo ocurre con el quinto armónico (marrón). Su amplitud es 1/5 de la fundamental y presenta 5 periodos. Al sumarlos se obtiene la curva verde. Todavía no es una buena onda cuadrada, pero ya se ven los bordes empinados, y la línea horizontal ondulada acabará siendo completamente horizontal si añadimos más armónicos. Así es como se verá una onda cuadrada en el osciloscopio si sólo se muestra hasta el quinto armónico. Esto es realmente el mínimo, para una mejor reconstrucción necesitarás más armónicos.

Como toda señal no sinusoidal, la señal modulada en AM creará armónicos. Fourier demostró que cada La señal repetitiva puede descomponerse en una fundamental (la misma frecuencia que la forma de onda), y en armónicos que tienen frecuencias que son múltiplos de la fundamental. Incluso se aplica a las formas de onda no repetitivas. Así que, aunque no se vea fácilmente su aspecto, el análisis siempre es posible.

Esta es una señal básica de AM, y la señal modulada es el producto de la portadora y la señal de banda base. Ahora

\$ sin(f_C) \cdot sin(f_M) = \dfrac{cos(f_C - f_M) - cos(f_C + f_M)}{2} \$

Así que puedes ver que incluso un producto de senos puede expresarse como la suma de senos, es decir, ambos cosenos (los armónicos pueden tener su fase desplazada, en este caso en 90°). Las frecuencias \$(f_C - f_M)\$ y \$(f_C + f_M)\$ son los bandas laterales a la izquierda y a la derecha de la frecuencia portadora \$f_C\$ .

Incluso si su señal de banda base es una señal de aspecto más complejo, puede dividir la señal modulada en senos separados.

Answer 2

La respuesta de Pentium100 es bastante completa, pero me gustaría dar una explicación mucho más sencilla (aunque menos precisa).

La razón por la que las ondas sinusoidales tienen (idealmente) sólo un armónico es porque el seno es la señal periódica más "suave" que se puede tener, y por lo tanto es la "mejor" en términos de continuidad, derivabilidad y demás. Por esta razón es conveniente expresar las formas de onda en términos de ondas sinusoidales (también se puede hacer con otras ondas, siempre que sean \$C^{\infty}\$ ).

Sólo un ejemplo: ¿por qué en el agua se suelen ver olas curvas? (para esto, ignora el efecto de la playa o el viento) De nuevo, es porque es la forma que requiere menos energía para formarse, ya que todas las rampas y bordes son suaves.

En algunos casos, como el Órgano Hammond Las ondas sinusoidales se utilizan en realidad para componer la señal, porque con la descomposición es posible sintetizar una gran cantidad de sonidos (prácticamente todos).

Hay una hermosa animación de LucasVB explicando la descomposición de Fourier de una onda cuadrada:

Estas imágenes explican mejor la descomposición de la onda cuadrada en armónicos:

Answer 3

Se puede descomponer cualquier forma de onda en una serie infinita de ondas sinusoidales sumadas. Esto se llama análisis de Fourier (si la forma de onda original se repite) o transformada de Fourier (para cualquier forma de onda).

En el caso de una forma de onda que se repite (como una onda cuadrada), al hacer el análisis de Fourier se descubre que todos los senos que componen la forma de onda tienen frecuencias que son un múltiplo entero de la frecuencia de la forma de onda original. Esto se llama "armónicos".

Una onda sinusoidal sólo tendrá un armónico, el fundamental (bueno, ya es sinusoidal, por lo que se compone de un seno). La onda cuadrada tendrá una serie infinita de armónicos Impares (es decir, para hacer una onda cuadrada a partir de senos hay que añadir senos de cada múltiplo impar de la frecuencia fundamental).

Los armónicos se generan distorsionando la onda sinusoidal (aunque se pueden generar por separado).

Por qué es importante:

1. Puedes hacer una onda sinusoidal a partir de cualquier onda de una frecuencia fija, siempre que tengas un filtro que pase la frecuencia fundamental, pero que bloquee la frecuencia 2x (ya que estarías dejando sólo un armónico).
2. En realidad, puedes hacer una onda sinusoidal que tenga una frecuencia diferente a la original - sólo tienes que utilizar un filtro de paso de banda para pasar el armónico que quieras. Puedes usar esto para obtener una onda sinusoidal de una frecuencia que sea un múltiplo de la frecuencia de otra sinusoidal - simplemente distorsiona la sinusoidal original y escoge el armónico que quieras.
3. Los sistemas de RF tienen que emitir formas de onda que no contengan armónicos fuera del rango de frecuencias permitido. Así es como una fuente de alimentación PWM (frecuencia de funcionamiento ~100kHz, onda cuadrada) puede interferir con la radio FM (frecuencias de funcionamiento 88-108MHz, 11-12MHz (IF)).
4. Si quieres tener una onda cuadrada con tiempos de subida/bajada muy rápidos, el ancho de banda de tu sistema tendrá que ser mucho mayor que la frecuencia fundamental de tu onda cuadrada.

Answer 4

La derivada -velocidad de cambio- de una sinusoide es otra sinusoide a la misma frecuencia, pero desfasada. Los componentes reales -cables, antenas, condensadores- pueden seguir los cambios (de tensión, corriente, intensidad de campo, etc.) de las derivadas tan bien como pueden seguir la señal original. Las tasas de cambio de la señal, de la tasa de cambio de la señal, de la tasa de cambio de la tasa de cambio de la señal, etc., existen y son finitas.

Los armónicos de una onda cuadrada existen porque la tasa de cambio (primera derivada) de una onda cuadrada consiste en picos muy altos y repentinos; picos infinitamente altos, en el caso límite de una llamada onda cuadrada perfecta. Los sistemas físicos reales no pueden seguir tasas tan altas, por lo que las señales se distorsionan. La capacitancia y la inductancia simplemente limitan su capacidad de respuesta rápida, por lo que suenan.

Al igual que una campana no puede desplazarse ni distorsionarse a la velocidad con la que es golpeada, por lo que almacena y libera energía (vibrando) a ritmos más lentos, un circuito no responde a la velocidad con la que es golpeado por los picos que son los bordes de la onda cuadrada. También suena u oscila a medida que la energía se disipa.

Un bloque conceptual puede provenir del concepto de que los armónicos son de mayor frecuencia que la fundamental. Lo que llamamos frecuencia de la onda cuadrada es el número de transiciones que realiza por unidad de tiempo. Pero volvamos a esas derivadas: las tasas de cambio que hace la señal son enormes comparadas con las tasas de cambio de una sinusoide a esa misma frecuencia. Aquí es donde nos encontramos con las frecuencias de los componentes más altos: esas altas tasas de cambio tienen los atributos de las ondas sinusoidales de mayor frecuencia . Las altas frecuencias están implícitas en las altas tasas de cambio de la señal cuadrada (u otra no sinusoide).

El borde ascendente rápido no es típico de una sinusoide a la frecuencia f pero de una sinusoide de frecuencia mucho más alta. El sistema físico lo sigue lo mejor que puede, pero al estar limitado por la velocidad, responde mucho más a los componentes de menor frecuencia que a los de mayor. Así que nosotros, los humanos lentos, vemos las respuestas de mayor amplitud y menor frecuencia y las llamamos f ¡!

Answer 5

En términos prácticos, la razón por la que "aparecen" los armónicos es que los circuitos de filtrado lineal (así como muchos circuitos de filtrado no lineal) que están diseñados para detectar ciertas frecuencias percibirán ciertas formas de onda de menor frecuencia como las frecuencias que les interesan. Para entender por qué, imagine un gran muelle con un peso muy elevado que está unido a un asa mediante un muelle bastante flojo. Si se tira de la empuñadura, el peso pesado no se moverá directamente, pero el muelle grande y el peso tendrán una determinada frecuencia de resonancia, y si se mueve la empuñadura hacia adelante y hacia atrás a esa frecuencia, se puede añadir energía al peso grande y al muelle, aumentando la amplitud de la oscilación hasta que sea mucho mayor que la que se podría producir "directamente" tirando del muelle suelto.

La forma más eficaz de transferir energía al muelle grande es tirar en un patrón suave correspondiente a una onda sinusoidal, el mismo patrón de movimiento que el muelle grande. Sin embargo, otros patrones de movimiento pueden funcionar. Si se mueve la manivela con otros patrones, parte de la energía que se introduce en el conjunto muelle-peso durante algunas partes del ciclo se extraerá durante otras. Como ejemplo sencillo, supongamos que simplemente se atasca la manivela en los extremos del recorrido a una velocidad correspondiente a la frecuencia de resonancia (equivalente a una onda cuadrada). Mover la manivela de un extremo a otro justo cuando el peso llega al final del recorrido requerirá mucho más trabajo que esperar a que el peso retroceda un poco primero, pero si uno no mueve la manivela en ese momento, el muelle de la manivela estará luchando contra el intento del peso de volver al centro. No obstante, es evidente que mover la manivela de una posición extrema a la otra funcionaría.

Supongamos que el peso tarda un segundo en oscilar de izquierda a derecha y otro segundo en volver a oscilar. Ahora considere lo que sucede si uno mueve la manivela de un extremo del movimiento al otro tiene antes, pero permanece tres segundos en cada lado en lugar de un segundo. Cada vez que uno mueve la manivela de un extremo al otro, el peso y el muelle tendrán esencialmente la misma posición y velocidad que tenían dos segundos antes. En consecuencia, se les añadirá aproximadamente la misma energía que tenían dos segundos antes. Por otro lado, estas adiciones de energía sólo se producirán un tercio de las veces que se producirían cuando el "tiempo de permanencia" fuera sólo de un segundo. Así, mover la manivela hacia adelante y hacia atrás a 1/6Hz añadirá un tercio de energía por minuto (potencia) al peso que si se mueve hacia adelante y hacia atrás a 1/2Hz. Algo similar ocurre si se mueve la manivela hacia adelante y hacia atrás a 1/10Hz, pero como los movimientos serán 1/5 de la frecuencia de 1/2Hz, la potencia será 1/5.

Supongamos ahora que en lugar de que el tiempo de permanencia sea un múltiplo de impar, se hace un múltiplo par (por ejemplo, dos segundos). En ese caso, la posición del peso y del muelle en cada movimiento de izquierda a derecha será la misma que su posición en el siguiente movimiento de derecha a izquierda. En consecuencia, si la manivela añade alguna energía al muelle en el primero, dicha energía se anulará esencialmente en el segundo. En consecuencia, el muelle no se moverá.

Si, en lugar de hacer movimientos extremos con la empuñadura, uno la mueve más suavemente, entonces en las frecuencias más bajas del movimiento de la empuñadura es probable que haya más momentos en los que uno esté luchando contra el movimiento del combo peso/muelle. Si se mueve la empuñadura con un patrón de onda sinusoidal, pero a una frecuencia sustancialmente diferente de la frecuencia de resonancia del sistema, la energía que se transfiere al sistema cuando se empuja de la manera "correcta" estará bastante bien equilibrada por la energía que se extrae del sistema cuando se empuja de la manera "incorrecta". Otros patrones de movimiento que no son tan extremos como la onda cuadrada transferirán, al menos en algunas frecuencias, más energía al sistema que la que se extrae.