La intuición de autovalores complejos

Question

Los autovalores de una matriz de rotación son números complejos. Entiendo que no pueden ser números reales, porque al girar algo sin dirección sigue siendo la misma.

Mi pregunta
¿Qué es la intuición de que los autovalores son complejos? ¿Por qué es que existen) para la rotación de las matrices? Quiero decir que no es así que cada vez que un cálculo no es posible el resultado es complejo (la división por 0 no es posible en - el resultado no es real, pero no es complejo, ya sea!). Los números complejos parecen cubrir un término medio aquí, pero no entiendo cómo y por qué se ponen en juego - no parece ser ninguna plaza raíces tomadas de los números negativos...)

Answer 1

De forma heurística, supongo que podemos ver a este ser debido a que el estándar de la acción de los números complejos en $V = \mathbb R^{2n}$ es por rotación. Es decir, $(e_1, \ldots, e_{2n})$ es una base para $V$, entonces podemos definir la multiplicación por $i$

$ i e_{2k-1} = e_{2k}, \quad i e_{2k} = - e_{2k-1},$ $k = 1, \ldots, n$,

así que la multiplicación de un vector $v$ por un complejo número de $\lambda$ corresponderá a una escala por un real y una rotación.

Ahora bien, si tenemos una rotación $A$ sobre el espacio $V$ y queremos encontrar una línea de $l$ "invariantes" en $A$, entonces podemos tratar de buscar un número complejo $\lambda$ tal que la rotación de la $l$ bajo $A$ es equivalente a la acción de $\lambda$$l$. Por lo tanto, podemos intentar buscar complejo autovalores $\lambda$$A$.

Esta línea de "razonamiento" rompe completamente en la impar-dimensional caso, porque no se puede definir una estructura compleja en la impar-dimensiones de los espacios, pero te puede dar una pista de por qué buscaríamos para el complejo de autovalores. A continuación, se convierte en un asunto de álgebra para averiguar que realmente funciona, y que lo hace en un espacio vectorial de cualquier dimensión finita.

Finalmente, para la existencia, como Alex ya se señaló, buscamos autovalores por la búsqueda de raíces de polinomios. Todos los polinomios de admitir una raíz sobre los números complejos, que se traduce en la existencia de un complejo autovalor.