Cohomología cuántica equivariante de resoluciones simplécticas cónicas

Question

Hay un par de artículos sobre esto [Braverman, Maulik, Oblomkov, Okounkov, Pandharipande] donde los autores calculan la cohomología cuántica para varias resoluciones cónicas simplécticas. El lenguaje de estos artículos es bastante algebro-geométrico, mientras que mi visión de la cohomología cuántica proviene de la geometría simpléctica. Por lo tanto, en lugar de ''contar curvas racionales'' pienso en contar esferas holomorfas=simplécticas.

Aunque, en la configuración exacta como es esta (la forma simpléctica holomorfa en resoluciones simplécticas cónicas es exacta) no hay curvas holomorfas no triviales. Así que la cohomología cuántica = cohomología singular como anillo.

Sin embargo, en estos trabajos, los autores se ocupan de la cohomología cuántica equivariante en lugar de la habitual (estos espacios siempre vienen con una acción de grupo). Así que, como espacio vectorial, no es más que cohomología equivariante tensada con un anillo de series de potencia apropiado, pero sigo desconcertado con la multiplicación de anillos en él - pensando desde el punto de vista simpléctico, ¿cuenta algún tipo de ''holomorfo equivariante = esferas simplécticas''?

Answer 1

En primer lugar, no entiendo por qué dices que no hay curvas holomorfas - un ejemplo típico de tal espacio es $T^*{\mathbb C}{\mathbb P}^1$ y tiene perfectamente curvas holomorfas no triviales. Lo que sí es cierto es que se puede elegir una estructura compleja diferente (aún compatible con la misma forma simpléctica real) para que desaparezcan todas las curvas holomorfas. Esa es una de las posibles explicaciones de por qué en la cohomología cuántica habitual (no equivariante) la multiplicación es igual a la multiplicación ordinaria (no cuántica). Sin embargo, la cuestión es que no hay ninguna estructura compleja (o incluso casi compleja) con esta propiedad en la que la ${\mathbb C}^*$ -la acción sigue siendo holomofrica. Básicamente, la forma correcta de pensar en la cohomología equivariante (en cualquier contexto) es pensar en la cohomología del cociente. Por supuesto, esto es complicado cuando la acción no es libre, pero filosóficamente es así. Así que hay que trabajar con estructuras complejas que son invariantes bajo ${\mathbb C}^*$ y entonces sí tienes curvas. Queda la cuestión de definir la clase fundamental virtual correcta en el espacio de moduli correspondiente.