¿Cómo puedo encontrar el valor más bajo $y$ puede tener cuando $n$ es mayor o igual que $2$ ¿usando sólo álgebra?
$$y = \frac{1}{2}(e^x - e^{-x}) + \frac{n}{2}(e^x + e^{-x })$$
Respuestas
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A.G.
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Utilizando Desigualdad AM-GM $$ y=\frac{(n+1)e^x+(n-1)e^{-x}}{2}\ge\sqrt{(n+1)(n-1)}=\sqrt{n^2-1}. $$ Igualdad cuando $(n+1)e^x=(n-1)e^{-x}$ $\Rightarrow$ $x=\frac{1}{2}\ln\frac{n-1}{n+1}$ .
Claude Leibovici
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Sugerencia
El mínimo o el máximo se alcanzaría cuando $\frac{dy}{dx}=0$ .
Por lo tanto, considere $$y = \frac{1}{2}(e^x - e^{-x}) + \frac{n}{2}(e^x + e^{-x })$$ Calcula $\frac{dy}{dx}$ , lo establece igual a $0$ , resuelve para $x$ (que será una función de $n$ ) y volver a introducir el valor $y$ .
No olvides utilizar la prueba de la segunda derivada para verificar que $y$ está al mínimo.
johannesvalks
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Solución sin diferenciación.
Dado es $$ y = \frac{1}{2} \Big( \exp(x) - \exp(-x) \Big) + \frac{n}{2} \Big( \exp(x) + \exp(-x) \Big). $$
Paso 1: $$ y = \frac{n+1}{2} \exp(x) + \frac{n-1}{2} \exp(-x). $$
Paso 2: $$ y = \frac{n+1}{2} \exp(-a) \exp(x+a) + \frac{n-1}{2} \exp(a) \exp(-[x+a]). $$
Paso 3: Encuentre $a$ tal que $$ \frac{n+1}{2} \exp(-a) : \frac{n-1}{2} \exp(a) = 1, $$
así que resuelve
$$ \frac{n+1}{n-1} \exp(-2a) = 1 \Rightarrow a = \log \sqrt{ \frac{n+1}{n-1} }. $$
Paso 4: $$ y = \frac{\sqrt{n^2-1}}{2} \Big[ \exp(x+a) + \exp(-[x+a]) \Big] $$
Paso 5: $$ y = \sqrt{n^2-1} \Bigg[ 1 + \Big[ \tfrac{1}{2} \exp(\tfrac{1}{2}[x+a]) - \tfrac{1}{2}\exp(-\tfrac{1}{2} [x+a]) \Big]^2 \Bigg] $$
Se puede leer el mínimo, como $y$ tiene la forma $y = a ( 1 + \xi^2)$ . El mínimo es $a$ para $\xi=0$ .
El mínimo viene dado por $$ \sqrt{n^2-1} $$
para $$ x = \frac{1}{2} \log \frac{n-1}{n+1}. $$
