Ejemplo $A$ y $B$ cerrado, $A+B$ no un $F_{\sigma}$

Question

Esta pregunta surge de lo siguiente: ¿Cómo podemos demostrar que en $\mathbb{R}^n$ si $A$ y $B$ son ambos subconjuntos cerrados, entonces $A+B$ es un $F_\sigma$ ¿conjunto?

Si $A$ y $B$ son subconjuntos cerrados de un espacio vectorial topológico metrizable (o más generalmente de un espacio vectorial topológico de Hausdorff) es $A+B$ un $F_{\sigma}$ ¿conjunto? Creo que no es necesario, pero no he podido construir un contraejemplo. Gracias por su tiempo.

Answer 1

$\mathbb{R}^\mathbb{R}$ con topología de producto es un espacio vectorial topológico de Hausdorff. Sea $A = \{f_v : v \in \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\}$ donde, para $x \in \mathbb{R}$ , $f_x \in \mathbb{R}^\mathbb{R}$ se define como $f_x(0) = x$ , $f_x(x) = 1$ y $f_x(y) = 0$ si $y \not \in \{0,x\}$ . Sea $B = \{g_v : v \in \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\}$ donde, para $x \in \mathbb{R}$ , $g_x \in \mathbb{R}^\mathbb{R}$ se define como $g_x(0) = 0, g_x(x) = -1$ y $g_x(y) = 0$ si $y \not \in \{0,x\}$ . Entonces $A$ y $B$ son cerrados (esto es obvio), y $A+B = \{h_v : v \in \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\}\cup\{f_v+g_{v'} : v\not = v', v,v' \in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}\}$ donde, para $x \in \mathbb{R}$ , $h_x \in \mathbb{R}^\mathbb{R}$ se define como $h_x(0) = x$ y $h_x(y) = 0$ si $y \not = x$ . Supongamos que $A+B$ es un $F_\sigma$ set; say $A+B = \cup_n F_n$ con cada $F_n \in \mathbb{R}^\mathbb{R}$ cerrado. Entonces, como $E := \{l \in \mathbb{R}^\mathbb{R} : l(x) = 0 \text{ for all } x \not = 0\}$ está cerrado, $\{h_v : v \in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}\} = (A+B)\cap E = (\cup_n F_n)\cap E = \cup_n (F_n \cap E)$ es un $F_\sigma$ conjunto. Esto equivale a decir que $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ es un $F_\sigma$ establecido en $\mathbb{R}$ , lo cual es falso.

---

Si quieres que sea metrizable, sólo tienes que tener en cuenta que todo lo anterior ocurre en el subconjunto (metrizable) de funciones de $\mathbb{R}$ à $\mathbb{R}$ con soporte finito. A continuación, los detalles.

Dejemos que $V = \{f \in \mathbb{R}^\mathbb{R} : \#\{x : f(x) \not = 0\} < \infty\}$ . Entonces $V$ es un espacio vectorial. Definir, para $f,g \in V$ , $d(f,g) = \sum_{x \in \mathbb{R}} |f(x)-g(x)|$ que está bien definida, ya que es una suma finita. Entonces, $d(f,f) = 0$ , $d(f,g) = 0$ implica $f=g$ , $d(f,g) \ge 0$ para cada $f,g$ , $0 \le d(f,g) < \infty$ para cada $f,g$ y $d(f,h) \le d(f,g)+d(g,h)$ para cada $f,g,h \in V$ . Por lo tanto, $d$ es una métrica en $V$ . Por supuesto, la suma y la multiplicación por un escalar son continuas con respecto a esta métrica, por lo que $(V,d)$ es un espacio vectorial topológico metrizable. Definir $A$ y $B$ como en el caso anterior (nótese que se encuentran dentro de $V$ ). Tenga en cuenta que $A$ y $B$ son cerradas con respecto a $d$ así como $E$ (como se ha definido anteriormente). Así, el argumento (por contradicción) anterior implica que $\{h_v : v \in \mathbb{R}/\mathbb{Q}\}$ es un $F_\sigma$ que, como $d$ restringido a $E$ es el $L^1$ norma sobre $\mathbb{R}$ , sigue implicando que $\mathbb{R}/\mathbb{Q}$ es un $F_\sigma$ establecido en $\mathbb{R}$ con la topología estándar, lo cual, una vez más, es falso.