¿Es la función característica de un conjunto contable integrable de Riemann en $[0,1]?$

Question

¿Es la función característica de un conjunto contable integrable de Riemann en $[0,1]?$

Mi intento :Creo que sí

Tome $\mathbb{1}_\mathbb{Q}$ .sabemos $m^*(\mathbb{Q})=0$ esto implica $\mathbb{1}_\mathbb{Q}$ es riemman integrable

Answer 1

No. Considera $\chi_{\Bbb Q\cap[0,1]}$ . No es integrable de Riemann ya que cada punto de $[0,1]$ es un punto de discontinuidad ya que tanto $\Bbb Q,\Bbb R\backslash \Bbb Q$ son densos en $\Bbb R$ . Nótese que la medida de Lebesgue de $[0,1]$ es $1$ . Esta es la declaración que queremos

$f:[a,b]\to\Bbb R$ es integrable de Riemann si y sólo si el conjunto de puntos de discontinuidad es un conjunto de medida cero.

También puede dar un argumento como éste, $$U(P,\chi_{\Bbb Q\cap[0,1]})-L(P,\chi_{\Bbb Q\cap[0,1]})=1\text{ for every partition }P\text{ of }[0,1].$$

Tenga en cuenta que $\chi_{\Bbb Q\cap[0,1]}$ es integrable de Lebesgue, con la integral de Lebesgue $0$ porque es casi igual a $0$ función, como ha mencionado la medida exterior de Lebesgue de $\Bbb Q$ por lo que la medida de Lebesgue de $\Bbb Q$ es cero.

Pero tenga en cuenta que $\chi_S$ , donde $S=\{0\}\cup\{1/n: n\in\Bbb N\}$ es integrable de Riemann en $[0,1]$ como el punto de discontinuidad de $\chi_S$ es exactamente $S$ y la medida de Lebesgue de $S$ es cero.

Otro buen ejemplo es que $$f(x)=\begin{cases}0 &\text{ if }x\text{ is irrational},\\ \frac{1}{q} & \text{ if }x=\frac{p}{q}\text{ with }p\in\Bbb Z, q\in \Bbb N,\gcd(p,q)=1.\end{cases}$$

Esta función es integrable de Riemann en $[0,1]$ como cada irracional es un punto de continuidad de $f$ .