"Comunicación afín" para las variedades topológicas

Question

Hay una situación que se presenta regularmente en topología algebraica cuando se dan pruebas de hechos sobre las variedades, como la dualidad de Poincare y similares. La secuencia típica es la siguiente:

• Demostrar algo para $\mathbb{R}^n$ .
• Luego sigue para los discos abiertos.
• Utilice un argumento de Mayer-Vietoris para demostrarlo para uniones finitas de conjuntos convexos en $\mathbb{R}^n$ .
• Utilice un argumento de colímite para demostrarlo para subconjuntos abiertos arbitrarios de $\mathbb{R}^n$ .
• Se deduce entonces que para los subconjuntos abiertos de una colmena que admiten un homeomorfismo a un subconjunto abierto de $\mathbb{R}^n$ .
• Utiliza un argumento de Mayer-Vietoris para demostrarlo para uniones finitas de dichos subconjuntos de una variedad.
• Utiliza un argumento de colímite para demostrarlo para subconjuntos abiertos arbitrarios de una variedad.

Obviamente hay cierta redundancia aquí, y hace que los detalles técnicos en estas pruebas abrumen las ideas subyacentes. En la categoría suave se puede hacer algo mejor, pero normalmente sólo apelando a una maquinaria que es útil pero que lleva más tiempo demostrar.

Las respuestas/comentarios de la siguiente pregunta apuntan a una forma muy útil de comparar gráficos de coordenadas en diferentes coberturas afines de un esquema dado:

¿Qué se debe aprender en un primer curso de esquemas serios?

A saber, la intersección de dos abiertos afines cualesquiera tiene una cobertura por conjuntos abiertos que se distinguen simultáneamente en ambos.

Siento que debería saber una referencia de si esto es cierto en la categoría topológica - y sospecho que no lo es - pero vergonzosamente no lo sé. Uno puede expresar esto en términos de homeomorfismos locales continuos de $\mathbb{R}^n$ a sí mismo, pero en su lugar sólo preguntaré:

Dadas dos cartas de coordenadas en una variedad topológica M y un punto en su intersección, ¿existe una vecindad de este punto que sea simultáneamente un conjunto abierto convexo en ambas cartas? ¿Existe un contraejemplo sencillo?

Answer 1

Hay contraejemplos lineales a trozos en dimensión $2$ .

Organice $2m$ rayos uniformemente espaciados $R_i$ alrededor del origen, $m\ge 3$ . Si $C$ es una vecindad convexa del origen, sea $r_i$ sea el recíproco de la longitud de la porción de $R_i$ en $C$ . Para algún número $K>0$ (dependiendo de $m$ ), la convexidad implica $r_{i+1}+r_{i-1}\ge 2Kr_i$ . Por lo tanto, si $e(C)$ y $o(C)$ son las sumas de $r_i$ por encima de la par y de impar $i$ tenemos $e(C)\ge Ko(C)$ y $o(C)\ge Ke(C)$ . Ahora aplica un homeomorfismo $h$ que estira linealmente los rayos pares en $A>0$ y los rayos Impares por $B>0$ . Si $h(C)$ es un conjunto convexo entonces tendrías números $e(h(C))=e(C)/A$ y $o(h(C))=o(C)/B$ De ahí que $e(C)/A\ge Ko(C)/B$ , contradiciendo $o(C)\ge Ke(C)$ si $A/B$ se elige lo suficientemente grande.