Valor medio de una función de densidad

Question

Quiero calcular una densidad media, pero sólo del objeto amarillo de la imagen (1< x^2+y^2<9) entre los círculos e y>=0 La densidad del objeto es una función $$p(x,y)=\frac{y}{x^2+y^2}$$

¿Es posible calcularlo?

¡Muchas gracias!

Answer 1

Sí:

$\displaystyle \dfrac{1}{Area(R)}\int\int_R \rho(x,y) dA$

La zona es bastante sencilla, $\dfrac{1}{2}\pi[3^2-1^2]$

Utilizar la polar para la integral

$\displaystyle \dfrac{2}{8\pi}\int_0^{\pi}\int_1^3 \dfrac{r\sin(\theta)}{r^2}r dr d\theta = \dfrac{2}{8\pi}\int_0^{\pi} \sin(\theta) d\theta\int_1^31 dr$

$=\displaystyle \dfrac{2}{8\pi}\cdot 2\cdot 2$