¿Por qué la función generadora de momentos de una variable aleatoria chi-cuadrado sólo existe para $t<1/2$ ?

Question

He comprobado que para un chi-cuadrado ( $n$ grados de libertad) variable aleatoria $X$ , $M_X(t)= (1-2t)^{-n/2}$ . Me han dicho que esto sólo existe para $t<1/2$ . ¿Por qué?

Answer 1

Para $X \sim \chi_n^2$ tenemos la función generadora de momentos:

$$\begin{equation} \begin{aligned} M_X(t) \equiv \mathbb{E}(\exp (tX)) &= \int \limits_0^\infty \exp(tx) \cdot \text{Chi-Sq}(x | n) dx \\[8pt] &= \frac{1}{2^{n/2} \Gamma(n/2)} \int \limits_0^\infty \exp(tx) \cdot x^{n/2-1} \exp(-x/2) dx \\[8pt] &= \frac{1}{2^{n/2} \Gamma(n/2)} \int \limits_0^\infty x^{n/2-1} \exp((t -\tfrac{1}{2})x) dx. \\[8pt] \end{aligned} \end{equation}$$

Para el caso en que $t < \tfrac{1}{2}$ utilizando el cambio de variable $r = (\tfrac{1}{2} - t)x$ que tenemos:

$$\begin{equation} \begin{aligned} M_X(t) &= \frac{1}{2^{n/2} \Gamma(n/2)} \int \limits_0^\infty x^{n/2-1} \exp((t -\tfrac{1}{2})x) dx. \\[8pt] &= (\tfrac{1}{2} - t)^{-n/2} \cdot \frac{1}{2^{n/2} \Gamma(n/2)} \int \limits_0^\infty r^{n/2-1} \exp(-r) dr. \\[8pt] &= (1 - 2t)^{-n/2} \cdot \frac{1}{\Gamma(n/2)} \int \limits_0^\infty r^{n/2-1} \exp(-r) dr. \\[8pt] &= (1 - 2t)^{-n/2}. \\[8pt] \end{aligned} \end{equation}$$

Para el caso en que $t \geqslant \tfrac{1}{2}$ que tenemos:

$$\begin{equation} \begin{aligned} M_X(t) &= \frac{1}{2^{n/2} \Gamma(n/2)} \int \limits_0^\infty x^{n/2-1} \exp((t -\tfrac{1}{2})x) dx. \\[8pt] &\geqslant \frac{1}{2^{n/2} \Gamma(n/2)} \int \limits_0^\infty x^{n/2-1} dx. \\[8pt] &= \frac{1}{2^{n/2} \Gamma(n/2)} \Bigg[ \frac{2}{n} x^{n/2} \Bigg]_{x=0}^{x \rightarrow \infty} \\[8pt] &= \frac{1}{2^{n/2} \Gamma(n/2)} \cdot \infty = \infty. \\[8pt] \end{aligned} \end{equation}$$

Así, se puede ver que en este último caso, la integral que define la función generadora de momentos diverge al infinito. Como el valor infinito no está en el conjunto de los números reales, en estos casos es normal decir que la función generadora de momentos "no existe", lo que significa que no hay ninguna función $M_X: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ que satisface los requisitos sobre los valores de los argumentos $t \geqslant \tfrac{1}{2}$ .