La desigualdad de Harnack para el gradiente

Question

Cómo demostrar lo siguiente:

Si u es una función armónica y positiva en el disco |z| < R, entonces $|u(0)| 2u(0)/R$ ?

Cualquier pista es bienvenida. Gracias de antemano.

Answer 1

Dejemos que $v(z)=u(Rz)$ por lo que estamos en el disco de radio $1$ y $|∇v(0)|=R|∇u(0)|, v(0)=u(0)$ , por lo que tenemos que demostrar $|∇v(0)| \le 2v(0)$ .

Ahora podemos hacer una demostración utilizando el lema de Schwarz y otra utilizando el de Herglotz.

Usando Herglotz hay una medida finita positiva $\mu(t)$ en la calle del círculo

$v(re^{i\theta})=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} P(r, \theta-t)d\mu(t)$ donde $P(r,\theta)=\frac{1-r^2}{1-2r\cos \theta+r^2}$ es el núcleo de Poisson que también podemos escribir como $1+2\sum_{n \ge 1}r^n\cos n\theta$

Pero entonces para $z \ne 0$ , $|∇v(z)|^2=v_r^2+\frac{1}{r^2}v_{\theta}^2$ y puesto que al diferenciar el núcleo de Poisson (usando la segunda forma es más fácil de ver ya que tenemos convergencia absoluta para $r<1$ para poder diferenciar término por término) $\frac{1}{r}v_{\theta} \to 0$ uniformemente en $\theta$ como $r \to 0$ , mientras que $v_r(re^{i\theta}) \to \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}2\cos(\theta-t)d\mu(t)$ et $|\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}2\cos(\theta-t)d\mu(t)| \le \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}2d\mu(t)=2v(0)$ se deduce que para cualquier $\epsilon >0$ hay $\delta$ s.t $|z|<\delta$ implica $|∇v(z)| \le 2v(0)+\epsilon$ y se hace por continuidad.

Para utilizar Schwarz, wlog hacemos una suposición más, a saber, que $v(0)=1$ (por la positividad $v(0)=c>0$ y dividir por ella no cambia nada). Entonces dejamos que $f=v+iw, f(0)=1$ la finalización analítica de $v$ y por C-R tenemos $f'(0)=v_x(0)-iv_y(0)$ así que $|f'(0)|=|∇v(0)|$ . Pero ahora $B=\frac{f-1}{f+1}$ es una función de Schwarz (en el sentido analítico y no de distribución) en el disco unitario ( $B(0)=0, |B|<1$ ), por lo que $|B'(0)| \le 1$ Desde $f=\frac{1+B}{1-B}, f'=\frac{2B'}{(1-B)^2}$ , $f'(0)=2B'(0)$ así que $|∇v(0)|=|f'(0)|\le 2=2v(0)$ ¡y ya hemos terminado otra vez!

Answer 2

Otra prueba es la propiedad del valor medio de las funciones armónicas. Obsérvese que $\nabla u$ también es armónico. Por lo tanto, por la propiedad del valor medio $$\begin{align*} |\nabla u(0)| &= \frac{1}{\pi R^2}\left|\int_{B_R(0)} \nabla u(x)\,dx \right| \tag{1} \\&= \frac{1}{\pi R^2}\left|\int_{\partial B_R(0)} u \cdot \hat{\mathbb{n}}\,d\sigma \right| \tag{2} \\ & \le \frac{1}{\pi R^2}\int_{\partial B_R(0)} u \,d\sigma \tag{3} \\&= \frac{2\pi R}{\pi R^2}u(0) = \frac{2}{R}u(0) \tag{4}\end{align*}$$

donde, en las líneas $(1)$ y $(4)$ utilizamos la propiedad del valor medio de las funciones armónicas, en línea $(2)$ utilizamos la integración por partes y en línea $(3)$ desigualdad del triángulo con el hecho de que $u$ es positivo en bola.