Dejemos que $S$ sea el conjunto de enteros que son producto de $k$ primos distintos, $k$ un número entero positivo fijo (la condición de que los primos sean distintos no es crucial). Landau utilizó el teorema de los números primos para demostrar que $$\frac{1}{x}\sum_{n \in S:\, n \le x} = \frac{\log^{k-1} \log x}{(k-1)!\log x} (1+o(1)),$$ y obtiene alguna información sobre el tamaño del término de error.
Estoy tratando de encontrar lo que se sabe, condicionalmente (sobre RH) e incondicionalmente, sobre la asintótica de $\sum_{n\in S: x\le n \le x+x^{c}} 1$ como $x$ va al infinito. El resultado de Landau responde a esto para $c=1$ .
Para $k=1$ Sólo pregunto por los primos reales en intervalos cortos. RH da la asintótica cuando $c>1/2$ y el trabajo de Huxley da la asintótica incondicional cuando $c>7/12$ . Para $k>1$ todo lo que puedo encontrar son resultados de "casi todo". ¿Qué resultados se conocen para todo intervalos cuando $k>1$ ?
