Encontrar la gráfica de la función peculiar

Question

Zona delimitada por $$2<|x+3y|+|x-y|<4 $$

Lo he intentado utilizando |x-y|=X y luego me he dado cuenta de que no funcionará porque la otra línea no es perpendicular. Sé que se podría hacer calculando por separado mediante la definición a trozos, pero llevaría mucho tiempo, así que no se puede resolver así en la sala de exámenes.

Por favor, ayúdenme. Gracias de antemano.

Answer 1

Dejemos que $x+3y=a$ y $x-y=b$ .

Así, obtenemos $$2<|a|+|b|<4,$$ que en coordenadas $(a,b)$ da una diferencia de áreas de dos cuadrados: $$\frac{8\cdot8}{2}-\frac{4\cdot4}{2}=24,$$ que es $|\Delta|$ del área de necesidad, donde $\Delta$ es un determinante del sistema: $$\Delta=1\cdot(-1)-1\cdot3=-4,$$ que da el área que es $$\frac{1}{4}\cdot24=6.$$

Answer 2

Esta es una aproximación más geométrica para que te hagas una idea de cómo es el gráfico si estás en un apuro durante un examen.

Esta desigualdad describe el área entre dos formas. La forma interior tiene bordes descritos por $|x + 3y| + |x-y| = 2$ el exterior tiene bordes descritos por $|x + 3y| + |x-y| = 4$ .

Un buen comienzo es mirar dónde están las esquinas de la forma. Son los puntos donde una de las desigualdades cambia de signo ( $x-y = 0$ o $x + 3y = 0$ ).

Considere primero lo primero. A lo largo de la línea $x - y = 0, y = x$ Así que sustituye esto en la fórmula y obtienes...

$$2 < |x + 3x| + |0| < 4 \implies 2 < |4x| < 4.$$

Nota $|4x| = 2 $ cuando $x = \pm\frac{1}{2}$ y $|4x| = 4$ cuando $ = \pm 1$ . Introduce estos valores en la ecuación $x = y$ para conseguir los puntos $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}), (-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}), (1, 1)$ y $(-1, -1)$ . Las dos primeras son esquinas de la forma interior ya que corresponden a $|4x| = 2$ y las dos segundas son esquinas de la forma exterior ya que corresponden a $|4x|=4$ .

Ahora lo último. A lo largo de la línea $x + 3y = 0, x = -3y$ . Sustituye esto en la fórmula para obtener...

$$2 < |0| + |-3y - y| < 4 \implies 2<|4y|<4$$

Del mismo modo, obtenemos $y = \pm \frac{1}{2}$ y $y = \pm 1$ . Introduzca estos valores en $x = -3y$ para conseguir los puntos $(-\frac{3}{2}, \frac{1}{2}), (\frac{3}{2}, -\frac{1}{2}), (-3, 1)$ y $(3, -1)$ . De nuevo, las dos primeras son esquinas de la forma interior y las dos segundas son esquinas de la forma exterior.

Ahora podemos trazar los puntos para ver cómo son las formas. Fíjate en que los puntos pueden estar unidos por líneas rectas, ya que la ecuación es \textbf {lineal} en $x$ y $y$ .

Tenemos dos paralelogramos. El área descrita por la desigualdad es el área entre ellos, por lo que podemos encontrar el área del mayor y restar el área del menor. El área de un paralelogramo viene dada por la anchura de su base multiplicada por su altura perpendicular, por lo que tenemos...

$$A = 4 \times 2 - 2 \times 1 = 6.$$